【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．1．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m⇔___________⇔__________⇔______________．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔____________⇔________________________．(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔____________⇔______________⇔________________．2．空间中垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m⇔____________⇔__________⇔________________________________．(2)线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________⇔__________⇔__________________．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__________⇔____________⇔________________________．一、选择题1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥αC．lα D．l与α斜交2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．不能确定3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定5．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交C ．相交且垂直D ．以上都不是题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________.8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( ) ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.11．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?能力提升12．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.1．平行关系的常用证法证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证AB→＝λCD→.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．2．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．§4 用向量讨论垂直与平行 知识梳理1．(1)a∥b a ＝λba 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(2)a⊥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 (3)u∥v u ＝k va 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0) 2．(1)a⊥b a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 (2)u ∥v u ＝λva 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0) (3)u⊥v u·v ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 作业设计1．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．] 3．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]4．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]5．C [∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →＝0， ∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →|， ∴△ABC 为直角三角形．]6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC 1→与CE →的关系判断．] 7．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 8．0解析 ∵a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直． 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P . ∵D 1P面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1.又D 1P 面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1.∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D 平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊆平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0n ·OC 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊆平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1. 11．解如图所示，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，设M (1,1，m )，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)．若D 1M ⊥平面EFB 1， 则D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E . 即D 1M →·EF →＝0，D 1M →·B 1E →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋12＋m －1×0＝00－12＋1－m ＝0，∴m ＝12，即存在点M 且为B 1B 的中点，使D 1M ⊥平面EFB 1. 12.证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)．于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC→＝0.所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC . 又因为BC ∩PC ＝C ， 所以AE ⊥平面PBC . 13.证明 (1)以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，BD ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a2， ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， ∴PA →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴PA →＝2EG →.即PA ∥EG .而EG ⊆平面EDB 且PA ⊆平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .。