i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
du2 dt
u2
u1
机械控制工程之系统的数学模型(ppt5 7页)
R2 i2 C2 u2
机械控制工程之系统的数学模型(ppt5 7页)
例5 直流电动机
1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
1 kd
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
Cm M L
机械控制工程之系统的数学模型(ppt5 7页)
机械控制工程之系统的数学模型(ppt5 7页)
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
bm
x
( i
m
)
(
t
)
bm1
x
( i
m1)
(
t
)
...
b1
x i
(t)
b0
xi
(t )
xo (t)、xi (t) 分别为系统输出和输入; ai (i 0,1,2,...,n)、 bj ( j 0,1,2,...,m) 为微分方程系数
若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微 分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
b x(m1) m1 i
(t
)
b1xi (t) b0xi (t)
一）机械系统
质量 阻尼 弹簧
F v2
u
i dq dt
3. 消除中间变量，并整理
.. Lq
. Rq
1 C
q
u
L
R
i
例3：列写微分方程
1. 明确：输入T，输出x(t)
2. 微分方程：
T k1( )
.. .
f mxB xk x
2
2
T k1
0
k1(
)
J
B 1
rf
x r
3. 消除中间变量 f、q，并整理：
r
f m k2
..
.
(J mr2)x(B B r2)xk r2xrT
TaTm ()'' Tm ()' Cdua CmTa (ML )' CmML 增量化
1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同
2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。
机械控制工程之系统的数学模型(ppt5 7页)
机械控制工程之系统的数学模型(ppt5 7页)
非线性方程的线性化
线性化的条件： 1. 非线性函数是连续函数(即不是本质非线性)。 2. 系统在预定工作点附近作小偏差运动 线性化的方法：
第二章 系统的数学模型
2.1 系统的微分方程
一、引言
数学模型:描述系统动态特性的数学表达式 时域数学模型： 微分方程(连续系统)
差分方程(离散系统) 状态方程 复域数学模型： 传递函数(连续系统) Z传递函数(离散系统) 频域数学模型： 频率特性
数学建模的一般方法： 1.分析法： 根据系统或元件所遵循的有关定律来建模
F v2
k v2
两端相对速度v21
m
v1 F m dv21
dt
b v1
F bv21
v1 F
F k v21dt
二）电网络 电路元件两端电位差v21
电感
v
2
Li v1
v21
L
di dt
电阻
v 2
Ri v1
v21 Ri
电容
v 2
i C v1
v21
1 C
idt
例1：图示机械系统 m-c-k，列写微分方程。
12
2
J B1
x
B2
机械控制工程之系统的数学模型(ppt5 7页)
例4：图示电网络，列写微分方程。
1. 明确系统的输入与输出：
R1
输入u1，输出u2
2. 列写微分方程：dt u1
1
1
i2R2 C2 i2dt C1 (i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
2. 列写原始微分方程： ua
L
dia dt
ia R ed
ua
ed kd
J
d
dt
M
ML
ua
M kmia
3.消除中间变量，并整理：
L
R
励磁电流
i2 =const
ia
ML
负载力矩
ML
电动机
电机的反电势ed 反电势常数kd 电磁力矩M
电磁力矩常数km
令 Ta
L R , Tm
RJ kdkm
,
Cd
1. 明确：
系统输入 f (t) 系统输出 x(t)
2. 牛顿第二定律 列写原始微分方程：
kx f m
cx
f kx cx mx
3. 整理： mxcxkx f
f
k
m
c
x
例2：图示电网络，列写微分方程。 1. 明确系统的输入与输出：
输入u(t)，输出电量q
2. 列写原始微分方程：
u Lddti iRC1 idt
2.实验法： 根据实验数据整理拟合数模
实验法列微分方程举例—OriginPro 8
实验法列微分方程举例—OriginPro 8
实验法列微分方程举例—OriginPro 8
连续系统的微分方程的一般形式：
an
x (n) o
(t
)
a n1
x ( n1) o
(t
)
...
a1
x o
(t
)
a0
xo
(t
)
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmM L0 ua
ia
当偏离平衡点时，有
励磁电流
i2 =const
ML
负载力矩
ua ua0 ua
ML ML0 ML
则 TaTm ( ) '' Tm ( ) ' ( )
Cd (ua0 ua ) CmTa (M L0 M L ) ' Cm (M L0 M L )
二、列写微分方程的一般方法
列写微分方程的步骤如下：
1. 确定系统的输入量和输出量。 注意：输入量包括给定输入量和扰动量
2. 按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵 循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。
xo(t) 3xo(t) 7xo(t) 4xi(t) 5xi(t)
x (t)3x (t)7x (t)4t2x (t)5x (t)
o
o
o
i
i
线性定常系统 线性时变系统
x (t)3x x (t)7x (t)4t2x(t)5x(t) 非线性系统
o
oo
o
i
i
线性系统的叠加原理
1. 确定预定工作点(平衡位置)。 2. 在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。 3. 忽略高阶小项。 4. 表示成增量化方程的形式。