补充方程变为
wBB FF 3E Bl3I
ql4 FBl3 0 8EI 3EI
解得
FB
3 ql 8
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1
28
可从右向左作出剪力图和弯矩图
8 ql
ql
1 8
FS 图
18l
8 ql2
1218ql2
M图
也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为 “多余”约束，解除后可得相当系统
q
MA A
方程）为 wA l
(2) 变形分析—协调条件（补充方程）
(3) 因铸件可视作刚体，其变形相容条件是三 杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构在 几何和物性均对称于杆3，可得补充方程
l1 l3e
(3) 胡克定理
l1F EN1lA
l3E F3N A 3l3
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1
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补充方程变为
(4)
FN1l FN3l EA E3A3
A
注意原超静定结构的 B 端
约束情况，相当系统要保持和
C
原结构相等，则相当系统在 B
F
点的位移为零。
B FB
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即得补充方程 B 0
1
6
在相当系统中求 B 点的位移,按叠加原理，可得
A
C F B x
BF BB
BBFBB
A
（3） 胡克定理(物理关系)
BF
Fa EA
BB
FBl EA
（4）补充方程变为
• 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余 约束往往是必需的，并不是多余的。
•超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超 静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、 物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问 题。
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1
3
•补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了 利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充 方程的数目等于多余未知力的数目。
超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所 引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这 种内力称为温度内力。
与之相应的应力则称为温度应力。
杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形， 以及与温度内力相应的弹性变形。
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例5 图示的等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连接。 设两支承间的距离(即杆长)为l，杆的横截面面积为A， 材料的弹性模量为E，线膨胀系数为al。试求温度升 高t时杆内的温度应力。
在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产 生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引起 不利的后果，也可能带来有利的影响。
土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利 用装配应力来提高构件承载能力的例子。
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(2)温度应力
静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变 形不会在杆中产生内力。
B 1
C1 A1 C
1
解： 画出结构装配简图，
1
B
并可确定装配后3 杆受 压，1、2杆受拉
aa
C 2
A
l
e
C'
3
l1=l2
B1
1
B
B'
C1
C
C'
A1
2
A
A' l3
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1
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FN1
B
FN3
C
FN2
A
aa
(1) 列出平衡方程,一次超静定问题
x Fx 0, FN3 FN1 FN2 0 M C ' 0, FN1 FN2
1
T
应力如图（内、外两杆
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
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Bq w
4、简单超静定梁
q
A
l
B
FA
q
B
A
MA
FB
列补充方程：
q B
A
B A
FB
wBqwBF B 0
Bq w
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可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集 中力作用下的挠度为
wBq8qE4l,I
联立求解得
e FN1
FN2
EAe l
1
1
2
EA E3A3
FN3
E3
A3e
1
l
1
E3 2E
A3 A
所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力和
杆3为压力是正确的。
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将已知数据代人，可得装配应力为
1
FN1 A
74.53MPa
3
FN3 A3
19.51MPa
计算中注意单位
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2、装配应力·温度应力
(1)装配应力
B
D
在静定问题中，只会使结构的几 何形状略有改变，不会在杆中产生 附加的内力。如1杆较设计尺寸过长， C 仅是A点的移动。
3
1 aa
2
A''
A'
e
A
在超静定问题中，由于有了多余 约束，就将产生附加的内力。
附加的内力称为装配内力,与之相 应的应力则称为装配应力,装配应力 是杆在荷载作用以前已经具有的应 力，也称为初应力。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程， 结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的补充方 程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。 此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进 行说明。
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1
4
2、拉压超静定问题
例1 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力。
在 线 弹 性 范 围 内 工 作 ， 其 扭 转 刚 度 分 别 为 GaIpa 和 GbIpb 。 当 组 合 杆 的 两 端 面 各 自 固 结 于 刚 性 板 上 ， 并 在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别 作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
Me rb A
Me
A 2021/2/4
Me
E3A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度
与其它杆的刚度的比值有关。
增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将
随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将
引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系
中是不存在的。
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归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1)根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程； (2)根据变形协调条件，建立补充方程; (3)利用胡克定律，改写补充方程； (4)联立求解。
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例3 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模
量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁， 试求在荷载F 作用下各杆的轴力。
l
1
2
3
a
a
a 2
DC
A BF
解: (1)受力分析--平衡方程
FN1 A
FN2
FN3
B
C
D F
Y 0 , F N 1 F N 2 F N 3 F 0 M D 0 , 1 . 5 F N 1 0 . 5 F N 2 0 . 5 F N 3 0
9-简单超静定结构的解法 解析
B
D
C
1
3
2
aa y
F N3
A
a a FN1
FN2
FA A
F
A
xFLeabharlann FFCC超静定结构(静不定结构): 静力学 B 平衡方程不能求解。
超静定结构的未知力的数目多于 独立的平衡方程的数目；两者的 差值称为超静定的次数。
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1
FB B
DC
A
2
•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约 束，相应的约束反力称为多余未知力。
为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢
杆AD内的拉力FN。
D
2q q
A a
B 2a
解： 一次超静定问题 (1) 将杆与梁的连接铰
A 看作多余约束(切开)， C 相应的多余未知力为
D
FN
FB
2q
q
FC FN(一对)，得相当系统如 图。
l l
wA
A B
A1
FN
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C
变形协调条件（补充
l
加上相应的多余未
MA A
I
Me
C
II
MB
B
x
知力偶矩MB，得基 本静定系。
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平衡方程：设固定端A的支反力偶为MA ,方向同MB
M x 0 , M A M B M e 0
变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基 本静定系在B端的扭转角应等于零, 即补充方程为
B 0
按叠加原理：
B
Fa FBl 0 EA EA
得
FB
Fa l
FB
x FB为正,表明其方向与图中所设一致.
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例2 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面 积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2， E1= E2=E；3杆长度为l3 ， 横截面面积为A3，弹性模量为E3 。试求各杆的轴力。
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