固態光學實習二、反射光譜量測原理及實驗1. 原理1-1.反射率與固態物理光學特性之關係光學常數是用來表徵固態宏觀光學性質物理量，折射率n 和散射係數ĸ是兩個基本的光學常數，二者分別構成複數折射率n 的實部與虛部。

另外，複介電係數ε（εr ，εi ）和複光電導率σ（σr ，σi ）也叫做光學常數，它們都與（n ，ĸ）有關。

實際上光學常數並非真正意義上的常數，而是人射光頻率的函數，光學常數的這種頻率依賴性叫做色散關係。

這些色散關係可以以簡單的物理模型出發推導出來。

光強（反射、透射、散射、輻射等）的射散就是所謂的光譜。

勞倫茲（Lorentz ）射散觀念是基於阻尼諧振子近似，適用於絕緣體和半導體。

為簡單起見，設所觀測的對象為均勻、各向同性的固體，在一階近似下，光與物質的相互作用，也就是固體對光的響應可以看成阻尼諧振子系統在入射光作用下的受激振蕩。

諧振子之間相互作用，用阻尼系數γ來表徵，並且假設固體中只有一種共振振蕩頻率為ω0質量為m 的諧振子，因此只需要考慮以座標X 表示的諧振子在光波作用下的運動。

系統受到的作用力有：與位移成正比的彈性恢復力-mw 02x ，與速度成正比的阻尼力'x m γ-，以及電磁場驅動力).exp(0*t i E e ω-，其中是*e 諧振子的有效電荷，在這些作用力之下，一個諧振子的運動方程式可以表示為).exp(0*20'''t i E e x m x m x m ωωγ-=++ (1)可以得到諧振子在光波作用下的位移)(ωx).exp(/)(0220*t i E i m e x ωγωωωω---= (2) 由電極化強度P 的定義知道 E x Ne p χε0*==，可以得到2222202202)()()(1)(ωγωωωωωωχωε+--=+=p r r (3) 2222202)()()(ωγωωγωωωχωε+-==p i i (4)22222032*0)()/()()(ωγωωγωωωεεωσ+-==m Ne i r (5) )()()(22ωεωκωr n =- (6) )()()(2ωεωκωr n = (7)其中02*2/εωm Ne p ≡，為電漿頻率。

光學常數隨頻率變化曲線叫做色散曲線。

吸收有關的量，)(ωεi ，)(ωσr ，以及)(ωA ，在0ωω=處出現極大，離開0ω遞減，在高頻和低頻下，都趨近於0。

入射光頻率與系統的共振頻率相等時，光與系統的能量交換作用最大，系統對光的吸收最強，這叫做共振吸收。

對於只有一種固有頻率的諧振子，吸收峰只有一個，但實際上可能有不同頻率振蕩的諧振子，因此吸收峰可能有多個。

由微分KK 關係知道，)(ωεr 可以處)(ωεi 的微分並在一個相當寬的頻率區間內積分得到。

圖一：光學常數)(ωκ、)(ωσr 、)(ωεi 、)(ωεr 以及反射率射散關係是意圖。

計算時對設h λ=1eV ，ħω0=4eVI 、ω « ω0 低頻透明區（T ）在這一區域內。

代表吸收的光學量)(ωκ、)(ωσr 、)(ωεi 都隨頻率減小而趨近於0，折射率為靜態的)0(n 隨頻率的增加而增大，呈正常色散，固體是透明的。

II 、ω ≈ ω0 共振吸收區（A ）在這一頻域內，代表吸收的光學量 )(ωσr 、)(ωεi 達到極大值。

在該區內，折射率由正常射散轉變為反常射散，即頻率的增加而增少。

III 、ω0 < ω < ωp 金屬反射區（R ）在這一頻域內，0)(<ωεr 。

以波方程式不難看出，對於實的ω，0)(<ωεr 意味著波方程式k 為虛數，有就是說，此頻域內光不能在固體中傳播；由式（3）看出，在這一頻域內)()(ωωκn >>，實際上n 趨近於0。

IV 、ω » ω0 高頻透明區（T ）在這一頻域內，代表固體吸收的量都趨近於0，折射率隨頻率的變化為正常色散固體再次轉變為透明的。

單晶體的)(ωn ，)(ωκ實驗射散曲線如下圖圖二：單晶體的)(ωn ，)(ωκ的射散曲線1-2. kramers-kronig relation 的推導任何複變函數α（w ），只要滿足三個要求，就會滿足K-K Relation （w 是實數）： （a ）α（w ）的極點都要在實軸下方。

（b ）在複w-平面之上半部沿著一無限大半圓形對α（w ）/w 積分時為零。

在∣w ∣→∞時，α（w ）均勻的→0。

（c ）對α（w ）＝α,（w ）＋i α,,（w ）而言，α,（w ）為偶函數，α,,（w ）為奇函數。

若對一個滿足上述3條件的複變函數α（z ）（z 是複變數）再複平面上取一個迴路積分()Zd ⎰w-z z α＝()ds⎰w-s s 1α＋()Zd ⎰w-z z 2α＋()ds⎰w-s s 3α＋()Zd ⎰w-z z 4α＝0（因為沒有包到極點，故整個積分為0）由（b ）知()Zd ⎰w -z z 4α＝0而再看()Zd ⎰w-z z 2α而z ＝w ＋ue i θ，dz ＝iue i θ d θ代入故()Zd ⎰w-z z 2α＝θαπθθθd ueiue ue w i i i ⎰+0)(＝θαπθid ue w i ⎰+0)(在u →0下，α（w ＋ue i θ）→α（w ） independent of θ故上式積分＝α（w ）i （-π） 故()ds⎰w-s s 1α＋()ds ⎰w-s s 3α＝pds w s s ⎰∞-)(α＝πi α（w ）表示積分避開奇異點（主值積分）而α（w ）＝α,（w ）＋i α,,（w ）代入左式 α（s ）＝α,（s ）＋i α,,（s ） 代入右式α,（w ）＋i α,,（w ）＝ds w s p i s ⎰∞∞--)(,1απ＋ds ws p i i s ⎰∞∞--)(,,απ＝ds ws p i s ⎰∞∞--)(,1απ＋ds w s p s ⎰∞∞--)(,,1απ比較實部→α,（w ）＝ds w s p s ⎰∞∞--)(,,1απ，而α,,（s ）是奇函數比較虛部→α,,（w ）＝ds w s p s ⎰∞∞---)(,1απ，而α,（s ）是偶函數由→α,（w ）＝ds ws p s ⎰∞-0)(,,1απ+ds w s p s ⎰∞--0)(,,1απ＝ds ws p s ⎰∞-0)(,,1απ+ds w s p s ⎰∞---0)(,,1απ，又α,,（-s ）＝－α,,（s ）＝ds ws p s ⎰∞-0)(,,1απ+ds ws p s ⎰∞+0)(,,1απ＝ds w s w s p s )(,,0)11(1απ⎰∞++-＝ds w s s p s ⎰∞-022)(,,2απ＃由→α,,（w ）＝ds w s p s ⎰∞∞---)(,1απ＝ds w s p s ⎰∞--0)(,1απ－ds w s p s ⎰∞--0)(,1απ ＝ds ws p s ⎰∞--0)(,1απ－ds w s p s ⎰∞---0)(,1απ，又α,（-s ）＝α,（s ）＝ds w s p s ⎰∞--0)(,1απ+ds w s p s ⎰∞+0)(,1απ＝ds w s w s p s )(,0)11(1απ⎰∞+---＝ds w s p ws ⎰∞--22)(,2απ＃故至此導出了K-K Relationw 是實數1-3 折射率之實部虛部n(w) ，k(w)之獲得)(w r ＝i r i w ir r e R +=θ)(乃是一個複變函數，雖滿足K-K Relation 的3個要求，但因為反射係數本身不好測量，故)(w r 的實部和虛部關係對實驗上沒實際用途，能直接測到的是反射率R (w) ，故我們只要找出R (w)和θ(w)的關係，再由)(w r ＝θi w e R )(就可以得出反射係數)(w r ，進而知道n 、k 等光學係數。

故考慮一複變函數)(21)()(ln ln w w w i R r θ+=代入K-K Relation比照α（w ）＝α,（w ）＋i α,,（w ），故知α,（w ）＝)(ln 21w R ，α,,（w ）＝θ(w)代入K-K Relation故α,,（w ）＝ds w s p ws ⎰∞--022)(,2απs s d w s Rp w⎰∞--022)(ln 212π＝故得出了θ(w)和R (w)的關係式＃考慮真空中一電磁波射向介電函數ε，磁導常數μ＝1的介質，其反射係數)(w r ＝11++-+ik n ik n而反射率R (w) ＝*rr ＝2222)1()1(k n k n +++- ------------(a) 故)(w r ＝11++-+ik n ik n ＝θi w e R )(＝)sin (cos )(θθi R w + ------------(b)利用(a) (b)聯立，經過一些代數運算導出故由θ(w) ，R (w)代入上兩式即得n (w) ，k (w) ＃1-4 介電函數之實部虛部ε1，ε2之獲得由晶體的複數折射率N (w)＝ik n +=ε兩邊平方ε21222εεi ink k n +=+-=，比較實部需部得由n (w) ，k (w)代入，故可得)(2)(1,w w εε故由一開始的R (w) ，我們成功的得到n (w) ，k (w) ，)(1w ε，)(2w ε至此分析完成＃1-5 加入微擾項形式之K-K relation 推導在我們後來的實驗中，因為在用程式模擬)(w θ＝s s d w s R p w⎰∞--22)(ln π的過程中，碰到奇點常會使)(w θ發散（無窮大值）。

因此我們發展了一套微擾項形式的K-K relatinon ，使此改良過的K-K relatinon 在用程式模擬時不至於發散。

我們由3-1的pds w s s ⎰∞∞--)(α＝πi α（w ）出發，α（s ）仍是一個複變函數，我們在分母加一個複數微擾項i Γ，來避免分母為零（故我們可以積過奇點所以把p 拿掉），但又因為加的是複數故不會影響實部積分的值，所以pds w s s ⎰∞∞--)(α＝ds i w s s ⎰∞∞-Γ+-)(α＝ds w s i w s s ⎰∞∞-Γ+-Γ+-22)()()(α＝ds w s w s s ⎰∞∞-Γ+--22)()()(α＋ds w s i ⎰∞∞-Γ+-Γ22)( 故α（w ）＝ds w s w s i s ⎰∞∞-Γ+--22)()()(1απ＋ds w s ⎰∞∞-Γ+-Γ22)(1π， α（w ）＝α,（w ）＋i α,,（w ）代入左式，α（s ）＝α,（s ）＋i α,,（s ） 代入右式α（w ）＝α,（w ）＋i α,,（w ）＝ds w s w s i s ⎰∞∞-Γ+--22)(,)()(1απ＋ds w s w s i i s ⎰∞∞-Γ+--22)(,,)()(απ＋ds w s ⎰∞∞-Γ+-Γ22)(1π＝ds w s w s i s ⎰∞∞-Γ+--22)(,)()(1απ＋ds w s w s s ⎰∞∞-Γ+-Γ+-22)(,,)()(1απ在此我們只要比較虛部即可（因為知道到時候的虛部就是我們要的θ(w)）ds w s w s s ⎰∞Γ+---22)(,)()(1απds w s w s s ⎰∞-Γ+---22)(,)()(1απ＝ds w s w s s ⎰∞Γ+---022)(,)()(1απds w s w s s ⎰∞-Γ+-----022)(,)()(1απ，又α,（-s ）＝α,（s ） ＝ds w s w s s ⎰∞Γ+---22)(,)()(1απ＋ds w s w s s ⎰∞Γ+++022)(,)()(1απ＝s s d w s w s w s w s )(,02222])()([1απ⎰∞Γ+++-Γ+--- ＝s s d ws w s w w ws ws )(,022*******])2()(2224[1απ⎰∞-Γ++Γ----此為加了複數微擾項後的K-K relatinon故)(21)()(ln ln w w w i R r θ+=帶入上式不會有θ(w)發散的情形，只要適當的選取Γ值（事實上Γ的大小與θ(w)的半高寬有關）。