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法二：连接 CM，并延长交 AD 于 Q，连接 PQ，
由 AD∥BC，且 AM＝BM，得 QM＝CM， 又 PN＝CN， 则 MN 是△CPQ 的中位线， 所以 MN∥PQ， 又 MN⊆/ 平面 PAD，PQ 平面 PAD， 则 MN∥平面 PAD。
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探究 2 上述问题中条件不变，试判断 MN 与平面 PAD 是否平行，并证明你的结论。
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·立体几何初步
平行关系的性质
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教材整理 1 直线与平面平行的性质定理
阅读教材 P32“练习”以下至 P33“例 4”以上部分，完成下列问题。
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线与一个平面平行，那么
过该直线的 任意一个平面 与已知平面的 交线 与该直线平行
【精彩点拨】从图形上看，若我们能设法证
明 FG∥A1D1 即可证明 FG∥平面 ADD1A1。
随堂练习
因为 EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊆/ 平面 BCC1B1，B1C1 平面 BCC1B1， 所以 EH∥平面 BCC1B1。 又平面 FGHE∩平面 BCC1B1＝FG， 所以 EH∥FG，即 FG∥A1D1。 又 FG⊆/ 平面 ADD1A1，A1D1 平面 ADD1A1， 所以 FG∥平面 ADD1A1。
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教材整理 2 面面平行的性质定理
阅读教材 P33“练习 1”以下至 P34“练习 2”以上部分，完成下列问题。
文字语言
符号语言
图形语言
如果 两个平行平面 同 时与第三个平面相交，那 么它们的 交线 平行
α∥β
γ∩α＝a ⇒a∥b γ∩β＝b
随堂练习
六棱柱的两底面为 α 和 β，且 A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，
【提示】 平行。取 PD 的中点 E，
连接 AE，NE， 可以证得 NE∥AM 且 NE＝AM。 可知四边形 AMNE 为平行四边形， 所以 MN∥AE，MN⊆/ 平面 PAD，AE 平面 PAD， 所以 MN∥平面 PAD。
随堂练习
例 3 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH， 求证：GH∥平面 PAD。
随堂练习
2.已知 α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线 AB 与 CD 交于点 S，且 SA＝8，SB＝9， CD＝34，求当 S 在 α，β 之间时 SC 的长。
【解】如图所示， ∵AB 与 CD 相交于 S， ∴AB，CD 可确定平面 γ，且 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD。 SA SC ∵α∥β，∴AC∥BD，∴SB＝SD， SA SC SC 8 ∴SA＋SB＝CD，即34＝17，解得 SC＝16。
这样就转化为平面问题。
随堂练习
【自主解答】 (1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ，
则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD，
又 α∥β，∴AC∥BD。
PA PC (2)由(1)，得 AC∥BD，∴AB＝CD，
43
15
∴5＝CD，∴CD＝ 4 (cm)，
27
∴PD＝PC＋CD＝ 4 (cm)。
随堂练习
例 2 如图，已知 α∥β，点 P 是平面 α，β 外的一点(不在 α 与 β 之间)， 直线 PB，PD 分别与 α，β 相交于点 A，B 和 C，D。 (1)求证：AC∥BD； (2)已知 PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求 PD 的长。
【精彩点拨】由PB与PD相交于点P，可知PB，PD确定一个平面， 结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，
且 AD∥BC，则 AB 与 CD 的位置关系为
。
【解析】 ∵AD∥BC，∴A，B，C，D 共面， 设为 γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又 α∥β， ∴AB∥CD。
【答案】 平行
随堂练习
例 1 如图 1，在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，H 分别为棱 A1B1，D1C1 上 的点，且 EH∥A1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1 相交，交点分别为 F，G， 求证：FG∥平面 ADD1A1。
【精彩点拨】
连接AC交BD于O，连接MO → MO是△PAC的中位线 → PA∥MO → PA∥平面BMD → PA∥GH → GH∥平面PAD
随堂练习
【自主解答】如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO。
∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点， 又 M 是 PC 的中点， ∴PA∥MO，而 AP⊆/ 平面 BDM，OM 平面 BDM， ∴PA∥平面 BMD，又∵PA 平面 PAHG， 平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，∴PA∥GH。 又 PA 平面 PAD，GH⊆/ 平面 PAD， ∴GH∥平面 PAD。a∥αaβ⇒a∥b
α∩β＝b
随堂练习
如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上
的点，EH∥FG，则 EH 与 BD 的位置关系是( A )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【解析】 ∵EH∥FG，EH⊆/ 平面 BCD，FG 平面 BCD， ∴EH∥平面 BCD，∵EH 平面 ABD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD，∴EH∥BD
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探究 1 ▱ 如图所示，已知 P 是 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别是 AB，PC 的中点，
平面 PAD∩平面 PBC＝l，直线 l 与直线 BC 平行吗？请说明理由。 【提示】 法一：平行。
因为 BC∥AD，BC⊆/ 平面 PAD，AD 平面 PAD， 所以 BC∥平面 PAD。 又因为 BC 平面 PBC， 平面 PBC∩平面 PAD＝l， 所以 BC∥l。
随堂练习
1.如图所示，已知 AB∥平面 α，AC∥BD，且 AC，BD 与 α 分别相交于点 C，D。 (1)求证：AC＝BD； (2)满足什么条件时，四边形 ABDC 为正方形？
随堂练习
【解】(1)证明：如图所示，连接 CD，
∵AC∥BD， ∴AC 与 BD 确定一个平面 β， 又∵AB∥α，AB β，α∩β＝CD， ∴AB∥CD， ∴四边形 ABDC 是平行四边形， ∴AC＝BD。 (2)由(1)知 ABDC 为平行四边形， 所以当 AB＝AC 且 AB⊥AC 时，四边形 ABDC 为正方形。