均存 在 ．
＾ 一 ｘｏ
ＤＰ的斜 率 和
２
１ ，
２
如 图，已知椭 圆 Ｅ： ＋ ＝ｌ ＞ ＞ ） 鲁 （ ｂ ０ 的长轴 ａ
长是 短 轴长 的两倍 ，且 过 点
ｙ
设Ｐ ，） （ Ｙ ，则Ｋｅ ｃ：
× ： ×
，Ｋ 。：
． 一 Ｏ
十 ０
，
和Ｄ Ｐ的斜 率 和 ｎ 均存在 ， Ｐ
所以Ｃ Ｐ和 Ｄ 的 斜 率 Ｐ
和
之 积 为 定 值
ｉＰｘＹ ， ＝ ￣ （，） 则 ｔ
× ：
—
＾ 一 Ｘ０
，
＝
Ｘ 十 Ｘｏ
，
ｂ
×
：
Ｘｏ
十 Ｘｏ
车 ．
一
１ 在抛物线条件下的一般情况，因为抛物线没 ． ３ 有关于原点对称 ，所以上述结论对抛物线不适用
ｉｐｘＹ， ￣ （，） 则 ＝ ｔ
× ： ×
Ｘ — Ｘ０
，
＝
十
，
：
Ｘ— ０
十 Ｘｏ
车 ．
Ｘ — Ｘｏ
１ 在椭圆条件下的一般情况 ． １
定理 １ 已知 椭 圆 Ｅ： ＋ｙ ２
＝
又 点 Ｐ在 双 曲线 Ｅ上 ， ． ‘ ｌ （ ａ＞ｂ ） 点 ＞０ ，
：
ｃ ２ １， （， 点Ｃ ） 关于原点 ０的
对 称点为 点 Ｄ ．
ｃ２ １ （， 、
Ｘ 一 ＾Ｏ
Ｘ 十 Ｏ
／ 一 、 ～
～ ０ ＼ ／ ；
又 。点 Ｐ在 椭 圆 Ｅ上 ， ． ‘
。
（）求椭 圆 Ｅ的方 程 ； Ｉ
（Ｉ Ｉ）点 Ｐ在椭 圆 Ｅ上 ，
．
嚣 一， 等
和 之 积 为 定 值
离和 等于 ４，写 出椭 圆 Ｃ的方程 和焦 点坐标 ；
（ Ⅱ）设 是 （ ）中所得 椭 圆上 的动点 ，求线 １
所以Ｃ Ｐ和 Ｄ尸的 斜 率
ｂ
一
段 的中点 Ｂ的轨迹 方程 ； （ Ⅲ）设 点 Ｐ是 椭 圆 Ｃ上 的任 意 一 点 ，过原 点 的直 线 ， 与椭 圆相 交于 Ｍ ， Ｎ两 点 ，当直线 肼 Ｐ 的斜率都 存在 ， Ｎ 并记 为 ‰ ， ， 试探 究 ・ ，
。
１ 在双曲线条件下的一般情况 ． ２ 定理 ２ 已知双 曲线 ： ２ ｙ２ Ｘ
一
＝
ｌ ｂ＞０ ，点 （ ａ＞ ）
的值 是否 与点 Ｐ及直 线 上有 关 ，不必 证 明你 的结论 ．
ｃｘ，ｏ是双曲 （ Ｙ） ｏ 线上一点，点Ｃ关于原点Ｏ的 对称
点为点 Ｄ ．点 Ｐ在双曲线 Ｅ上 ， 直线 Ｃ Ｐ和 Ｄ Ｐ的斜 率都 存在 且不 为 ０ ，直 线 Ｃ Ｐ和 Ｄ Ｐ的斜 率之 积为 定
２ ．定 理 的运 用
又 ‘点 Ｐ在 椭 圆 Ｅ上 ， ． ‘
・
． ．
＋ －．：一ｙ ＝， 口吾 一 ２ ．
Ｘｏ ｚ
广东省惠州市 ２ １ 届高三第三次调研考试数学 ００
试题 （ 文科 ２ 题 ） （ ０ 本小题 满分 １ ） ４分
同理， 点Ｃ ｘ，ｏ在椭圆Ｅ （ Ｙ１ ｏ 上，
在 把题 目的答 案 找 出来 ，这 是 远 远 不够 的 ，为 解 题
１ ４ —‘
（Ｉ 略 ． Ｉ） Ｉ
而解题 ，数学思维能力很难得到更深程度的训练和 提高，数学学 习过程 中，应该尽可能 的给学生展现 通 过 一 个题 目的逐 级 提 升 ， 由点到 面 ，把题 目的本
质 的东 西揭 示 出来 ，让 一 道 题变 得 更 丰 满 ，把 知识
（“ 一２ ３ 一２ ｎ一１ 一２２ 一２ ） （ 一 、
３ 一 ３×２ ＋３ ．
＝
种 不 同 的选法 ．虽然 只 是
验 证 ：当 ｎ＝４ ，３ 一３ ２ ＋ ＝３ 时 × ３ ６，结果是 正 确 的！ 得 到 上 述结 果 后 ，感觉 意 犹 未尽 ，不 禁进 一 步
选出ｋ （ ｋ∈Ｎ 且 ｋ 一１ ’ ）个 子集 ４ 、 且满 足 ４ 、…、 Ａ … Ａ Ａ ，那 么这样 的选法
不 难 看 出 ， 本 题 等 价 于 下 列 问 题 ： 设 集 合
Ａ＝ ａ， ａ，４ ，如果从 的所有子集中选出 ２ ｛．ａ ， ａ｝
个子 集 Ａ 、 Ａ 满 足 ４ ２ Ａ ，那 么这 样 的选
故 Ｍ・
， 无关 ．
解 的方法外 ，应该鼓励学生做更深层次 的探索 ，只
的值与 点 Ｐ的位置 无关 ， 同时与直 线
平 时注 意 深 入研 究 身边 的每一 道 题 ，数 学 能 力才 会
有质 的 飞越与 增强 ．
在 数 学 问题 的求 解 过程 中 ，除 了给 学 生一 个 求
某 一 类对 象 的 共 同属性 区分 出来 的思 维 过程 ＋ （ ， ， ｗ ｐ １ Ｄ－ １ Ｊ Ｋ ｙ ｙ
× ＝ × ＝ ．
又 ・点 Ｐ在椭 圆 Ｅ上 ， ． ・
’ ．
是 一 步一 步逐 级进 行 的 ，具 有层 次 性 的 ，而且 往往 是 将前一 层 次看作 后一 层 次的“ 具体 ” 通 过 抽象 ， ． 揭 示 本质 ，发现 规 律 ，这 是 科 学研 究 工作 必 须 具备 的
基 本修养 ，是 数学 学 习过 程 中要 培养 的一种 能力 ．
・ ．
专＋ ＿ ． ４ 等 Ｊ・ ， ．
．
８
，代 入
￣ ｐ ＫＤ
一 ，
所 以 Ｃ 和 Ｄ 的 斜 率 Ｐ Ｐ
一 —
和 Ｋ。 积 为 定 值 之
为 了培 养 学 生的 抽 象概 括 能力 ，如 果仅 仅 停 留
ｈ２
＿ ． ￣－ ｌ・ ０吾 ＇Ｘ ２ ． ｔ ０ － ２
： ＝ ，
ＫＣ × Ｋ Ｄ Ｐ Ｐ： 一
．
将 ２ ２ ２ ＝口 十 Ｊ 和 ＝口 ＋ Ｊ 入 ， ， ２ ，代 ｏ
Ｋｃ ｅ×
证明 依题意Ｄ 一ｃ 一 在椭圆Ｅ上， （ｊ， ） ０ 直线 Ｃ Ｐ
等． ． ＝＿ １・ ０吾 ，Ｘ ２ ． ｏ ２ 将 ＝一Ｊ ｊ 代 ， 吾 ｃ 一 入 ，ｏ 和 ＝
・ ． ．
设 、 分别是椭圆 ｃ：
的左 右焦点 ．
＋２ ｙ
＝
＋
１ ＞６ ） ＞０
（Ｉ ）设椭 圆 Ｃ上点 （ ， ） 两点 、 距 到
Ｋｏ ｐ＝
Ｃ Ｐ和 ＤＰ的斜 率 和 Ｋｏ均 存在 ， ｅ
直 线
Ｐ在 椭 圆 上 ，应 满 足 椭 圆 方程 ，缉 ２ ａ
＋
＝
１，
２ １ 年第 １ ０１ 期
福建 中学数 学
１ ７
事鲁 ・＝ ・ ＝ ＝ ． 有这 样 才 能培 养 和提 高 学 生 的抽 象概 括 能 力 ．只 有 ＋＝ 誓 导 一 ， 等
由一道 高考试题 引发的猜 想及其证 明
蒋惠 光 上海市 奉 贤 中学 （０ ４０ ２ １０ ）
一
２ １ 年高考结束后 ， ００ 翻阅了上海市的数学试卷 ， 感觉其 中不乏可 圈可点之处 ，如第 ｌ ４题 ：从集合
一
（ ・ ・ ・。 ２＋ ２＋ ２） ］
２（ ＋ 十 ＋ ＋ ＋ ） ｌ 一 …＋ …＋
：
（ Ｉ 平 行于 Ｃ 的直 线 ， 椭 圆 Ｅ于 、Ｊ Ｉ） Ｉ Ｄ 交 Ｖ两
．
．
８ ４ 和 ＝８ 入 ， — —４ ０代
一 １
．
点 ， Ａ ＭＮ面积 的 最大值 ， 求此 时直 线 ， 求 Ｃ 并 的方程 ．
２
，
￣Ｋ Ｄ ｐ＝
２
解
（ Ｉ ）易得所求椭圆Ｅ的方程为 ＋ ＝ ． １
・
．
．
事 ， ＝＋ 一 ． 吾 ， ‘ ２
ｘｏ ２
一
Ｃｘ，ｏ是椭圆 （ Ｙ） ｏ 上一点， 点Ｃ关于原点０的 对称点
为点 Ｊ ．点 Ｐ在椭 圆 上 ，直 线 Ｃ ［ ） Ｐ和 Ｄ Ｐ的斜率 都
同 理， （ ，ｏ在双曲 点Ｃｘ Ｙ） ｏ 线Ｅ上，
・ ．
．
存在且不为 ０ ，直线 Ｃ Ｐ和 Ｄ 尸的斜率之积为 定值
点评 对于第 （ ）问的结论得到定值为 一１ 笔 Ｉ Ｉ
．
者 做 了 以下浅显 的思考 ．
初 步 思考 把 上 述 第 （ ）问 的结 论对 于在 椭 圆 Ｉ Ｉ
的概 括性 体 现 出来 ，从 而 很好 的训 练 学 生抽 象 概括
能力 ．
等导 ｌ 下ｃ换椭 ｉ ｌ 意 ＋＝ 件把点成圆２２ 上 条 Ｘ ＝任 ＋
Ｚ
故ｃ Ｐ和 Ｄ尸的斜 率 和
之积 为定 值 一１
．
（） Ｉ 依题意得 Ｄ 一 ， １在椭 圆Ｅ上 Ｃ Ｉ ｆ２ 一 ） Ｐ和 Ｄ 尸 ｌ
１ ６ 结论显然还是成立 ．
福建中学数 学
２ １ 年第 １ ０１ 期
进 一步思考 上述 结论对于一般 的圆锥 曲线条 件下 是 否成立？ １ ．定理的推导
共有 多少 种？ 笔者 对 此 问题 进 行 了思考 ，为 方便 起 见 ，把 所
法 共有 多 少种 ？于 是 自然 想到 ：如果 将 集合 中 的 元素 推广 到一 般 的 ｎ个 ， 问题 怎样 求解？ 又能 得 到怎 样 的结果 呢？ 由于 ４ 、 ： 必须 是 非空真 子集 ，故子集 至少 含 有 ２个元 素 ， 然按 照“ 步完成 、分 类计 数” 仍 分 的思
２ １ 年 第 １期 ０１
福 建 中学数 学
１ ５
一
道数学试题 引发 的思考
福建省 厦 门市 同安 第一 中学 （６ ０ ３ １０ ） １