组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
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通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
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分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1

x1
,
x2

0
整数规划的特点及应用
整数规划图解法
x2
Page 14
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
整数规划的特点及应用
图解法的启示：
Page 15
① A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是IP问 题的可行解，B（4，1）才是IP的最优解
②纯整数规划的可行解就是可行域中的整数点
其基本的步骤是:
(1) 把约束条件中所有的系数整数化;
(2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只
包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也 是原整数规划问题的最优解;否则, 转(2)
③非整数点不是可行解，对于求解没有意义，故 切割掉可行域中的非可行解，不妨碍整数规划问 题的优化
IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法 匈牙利法（指派问题）
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解纯整数规划的割平面法
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割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题.
从而得到
Page 32
xi Nik xk - Ni fi - fik xk
k
k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
fi - fik xk 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广
泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1

x x
21 31

x22 x32

x23 x33

x24 x34

1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x41 x42 x43 x44 200y2

x
i
j

0
(i, j 1,2,3,4)
yi 0,1 (i 1,2)
Page 8
混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page 9
例4.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构
成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问
题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
max Z(或minZ ) c j x j j1


n
aij x j
bi
(i 1.2m)
j1
s.t. x1 x2 x3
1
3x1 x2 x4
4
3x3 x4 x5 3
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最P优age单28 纯 形表之中,得
cj
1 1 000
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
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整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一 个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件， 因而不一定仍为可行解。
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反 之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解 的目标函数值。
整数规划的特点及应用
Page 26
3 4


3 4
x3

1 4
x4


0
即
3x3 x4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所Pag得e 27等 式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max z x1 x2
Page 30
显然,上表为最优单纯形表,且x1,x2的值已为整数, 从而知 原IP问题的最优解为(1,1), 最优值为2
问题的关键是求切割方程
求切割方程的步骤归纳为:
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(1) 令xi是相应的松驰问题最优解中为分数值的一个基变
量, 由单纯形表的最终表得到
xi aik xk bi
推论：对于目标最大化的纯整数或混合整数规划，其最优 目标值≤松弛问题的最优目标值；对于目标最小化，其最 优目标值≥松弛问题的最优目标值。
整数规划的特点及应用
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整数规划的典型例子 例4.1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每箱的体积、 重量、可获利润以及装运所受限制如下：
货物集装箱 体积（立方米） 重量（百斤） 利润（百元）
列单纯形表得: (初始单纯形表)
Page 20
cj
11 00
CB XB b x1 x2 x3 x4
0 x3 1 -1 1 1 0
0 x4 4 3 1 0 1
011 00
(最终单纯形表)
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cj
11 00
CB XB b x1 x2 x3 x4
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4

x12

x22

x32

x42

400

x13

x23

x33

x43

300
x14 x24 x34 x44 150
s.t


x11 x21

x12 x22

x13 x23

x14 x24

400 600

x
31

x32

x33

x34

200 y1
1 若建工厂
yi 0
(i 1,2) 若不建工厂
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
44
minz
c xij ij [1200y1 1500y2 ]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80Βιβλιοθήκη 88整数规划的特点及应用
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设
1
xij 0
数学模型如下：
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
x4
7 4
Page 24
将系数和常数项均分解成整数与真分数之和移项,P以age上25 两式变为：
x1

x3

3 4


3 4
x3

1 4
x4