2 2/7 850 0.21 0.65 5/7 5/7 850 0.21
3 3/7 656 0.16 0.81 6/7
4 4/7 329 0.08 0.89 6/7 6/7 985 0.24
5 5/7 245 0.06 0.95 1
6 6/7 122 0.03 0.98 1
7 1 81 0.02 1 1 1 448 0.11

pr (r)
1 pr (r)
1
变换后图像的概率密度函数是均匀的。
例题：给定一幅图像，其灰度级分布概率密度函数为： 求使图像灰度级均匀化的变换函数T(r) 。
2r 2,0 r 1 pr (r) 0,其它
解：
r
r
s T r pr d 2 2d r2 2r
?
若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分
别为：0、1、2、3、4、5、6、7，则均衡后，他
们的灰度值为多少？
原图像的直方图
均衡后图像的直方图
%histeq37.m %本程序产生冈萨雷斯《数字图像处理》（MATLAB 版） % P83 FIGURE3.8及P84 FIGURE3.9
f=imread('e:\chenpc\data\thry\chpt3\Fig3.15(a)1top.jpg');
ns=zeros(1,8); for i=0:7
idx=find(Tr>=(2*i-1)/14&Tr<(2*i+1)/14); m0=nk(idx); ns(i+1)=sum(m0(:)); end sums=sum(ns(:)); Ps=ns/sums; subplot(133) stem(rk,Ps) xlabel('s_k') ylabel('P_s(s_k)') title('均匀化后的直方图')
T-1(s)对s同样满足上述两个条件。
令pr(r)和ps(s)分别代表变换前后图像灰度级的概率密度函数，由基本概 率理论得到一个基本结果，如果pr(r)和T(r)已知，且T-1(s)满足上述两个 条件，那么变换变量s的概率密度函数ps(s)可由以下简单公式得到：
ps (s)
pr
(r)
dr ds



pr (r)
上式表明，当变换 函数为r的累积直 方图函数时，能达 到直方图均衡化的 目的。
从基本微积分学（莱布尼茨准则），我们知道关于上限的定
积分的导数就是该上限的积分值。该结果代入公式
ps (s)

pr (r)
dr ds

pr
(r)
d [T ds
1 (s)]
得到：
ps (s)
pr
(r
)
dr ds
v4=1/64
12321212
v5=5/64
31231221
v6=8/64
i
v7=5/64
直方图的性质
①灰度直方图只能反映图像的灰度分布情况，而不能反 映图像像素的位置,即丢失了像素的位置信息。
②一幅图像对应唯一的灰度直方图，反之不成立。不同 的图像可对应相同的直方图。下图给出了一个不同的 图像具有相同直方图的例子。
pr(r) T(r) ps(s)
2
1.8 1.2
1.6
1.4
1
1.2 0.8
1 0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2 0.2
0
0
0.5
1
r
0 0 0.5 1 r
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 0 0.5 1 s
➢ 离散图像直方图均衡化
对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则变换函 数T(rk)的离散形式可表示为:
ylim('auto') hnorm=imhist(f)./length(f(:)); cdf=cumsum(hnorm); x=linspace(0,1,256); subplot(233),plot(x,cdf) axis([0 1 0 1]) set(gca,'xtick',0:.2:1) set(gca,'ytick',0:.2:1) xlabel('输入灰度级','fontsize',9) ylabel('输出灰度级','fontsize',9) %Specify text in the body of the graph: text(0.18,0.5,'变换函数','fontsize',9)
具有二峰性的灰度图象
③当影像上目标的灰度值比其它部分灰度值大或 者灰度区间已知时，可利用直方图统计图像中 物体的面积。
A= n vi iT
④ 计算图像信息量H（熵）
L1
H Pi log2 Pi
i0
图像获取过程中经常出现以下情况：
（a）成像时曝光不足，灰度级集中在低亮 度范围内，使得整幅图像偏暗
不同的图像具有相同直方图 ③一幅图像分成多个区域，多个区域的直方图之和即为
原图像的直方图。
直方图的应用
①用于判断图像量化是否恰当
(a) 恰当量化
(b)未能有效利用
(c)超过了动态范围
图2.4.4直方图用于判断量化是否恰当
②用于确定图像二值化的阈值
g(
x,
y)

0 1
f (x, y) T f (x, y) T
sk
T (rk )
k j0
pr (rj )
k nj j0 n
上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原图 像的直方图算出。
例 假定有一幅总像素为n=64×64的图像，灰度级数为8，各灰 度级分布列于表中。对其均衡化计算过程如下：
k 01234567 rk 0 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 1 nk 790 1023 850 656 329 245 122 81 pr(rk ) 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02
subplot(231),imshow(f); title('原图');
subplot(234),imhist(f); title('直方图')
ylim('auto')
g=histeq(f,256);
subplot(232),imshow(g) title('直方图均衡化后的图像')
subplot(235),imhist(g) title('均衡化后的直方图')
下图是一幅图像的灰度直方图。
频率的计算式为
灰度图像的直方图(histogram)
彩色图像的分波段直方图
二、计算 该图像像元总数为8*8=64, i=[0,7]
01321321 05762567
v0=5/64 v1=12/64
vi
16063512
v2=18/64
26753650
v3=8/64
32272416 22562760
0 r,s 1
在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个s值，且
s T (r)
T(r)作为变换函数，满足下列条件： 1. 在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白的次序不变； 2. 在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1，确保映射后的像素灰度在允许的范
围内。
反变换关系为
r T 1(s)
量化级 新灰度级sk 0
1/7=0.14 s0=1/7
2/7=0.29
3/7=0.43 s1=3/7
4/7=0.57
5/7=0.71 s2=5/7
6/7=0.86 s3=6/7
1
s4=1
像素数 Ps(sk)
790 0.19
1023 0.25
850 0.21 985 0.24 448 0.11
本例题可编程实现 方法一（image35.m） %本程序绘出直方图均匀化的变换函数 %以及变化前后的直方图 k=0:7; rk=k/7; nk=[790 1023 850 656 329 245 122 81]; n=sum(nk(:)); Pr=nk/n; subplot(131) stem(rk,Pr) xlabel('rk') ylabel('P_r(r_k)') title('均匀化前的直方图') Tr=cumsum(Pr,2); %沿列的方向求累积和 subplot(132) stem(rk,Tr) xlabel('rk') ylabel('s_k=T(r_k)') title('变换函数')
pr
(r
)
d ds
[T
1
(s)]
因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像的概率密度函数和所选 择的变换函数决定。
在图像处理中一个尤为重要的变换函数如下所示：
r
s T (r) pr ()d
0
是积分变量。上式两端对r求导：
ds
dr

dT (r) dr

d dr
r 0

pr ()d
k rk nk Pr(rk) 0 0 790 0.19 1 1/7 1023 0.25 2 2/7 850 0.21 3 3/7 656 0.16 4 4/7 329 0.08 5 5/7 245 0.06 6 6/7 122 0.03 7 1 81 0.02
Tr(rk) 0.19 0.44 0.65 0.81 0.89 0.95 0.98 1.00