时钟抖动的建模与仿真——随机过程大作业报告1引言采样是数字通信系统中最重要也是最关键的一步。

比如，由模拟信源变为数字信源需要AD采样，接收端将接收信号数字化也需要AD采样，而采样都需要通过振荡器产生采样信号；在载波系统中，接收端需要通过振荡器产生与发送端同频同相的载波信号，在OFDM系统中，接收端则需要通过本地振荡器产生产各个子载波。

通过对通信原理、数字信号处理、数字通信等课程的学习知道，在分析本地振荡产生的信号的时钟抖动分析，都运用随机过程中的中心极限定理的知识，认为各种随机因数使时钟抖动是一个高斯过程；即我们都很清楚每个时刻的随机时间抖动都是一个高斯变量，但是各个时刻的高斯时间抖动之间是什么关系我们却很少提及。

基于以上问题，我们认为很有必要去弄清楚，这个高斯的采样抖动信号在时间上呈现出什么样的关系，通过深层次的产生机理的分析弄清楚它的产生要素，以方便我们在平时的学习和研究过程中，比如仿真需要时，能够更贴近实际的去引入时间抖动。

在本文的第二部分中，将通过研究一个振荡器的振动模型，来分析时钟抖动产生的激励，通过分析我们最终得出，时钟抖动噪声其实是一个维纳过程的重要结论。

第三部分，则是通过阅读文献，得到时钟抖动有很多重要的性质。

第四部分主要是以第二部分的模型为基础，进行matlab仿真以验证，此模型产生的时钟抖动是否满足人们已经的到的关于时钟抖动的各种性质（第三部分中所述性质），以验证模型的正确性。

第五部分，则进行总结，提出几个值得思考的问题，并给出自己的初步想法。

时钟抖动的建模在参考文献【1】中用数学手段详细分析了时钟抖动产生的激励，这一部分我们就是以此文献为基础对时钟抖动进行建模分析的。

振荡器所满足的方程图一、振荡器模型对于以上模型的振荡器满足如下振动方程：（1）就是噪声源，此处的讨论中在不同时刻是一系列相互独立的高斯白噪声。

要解如上方程需做如下假设：1) 将的二项分为两项和，这样方程（1）变为：（2）2) 对于以上的将贡献方程（2）的稳态解，而项只对稳态解的参数有影响即，（3）方程（3）的解为（4）称为相位偏差，即使很小也会随时间剧烈变化。

3) 项将使方程（3）的解加上一项很小的扰动，即最终方程（2）的解为：（5）通过以上分析，我们知道时钟抖动就是在理想的稳定信号上加上了，两项噪声如式（5）所示，我们通过一个图来表示，如图二所示：图二、时钟抖动模型图二是产生采样脉冲信号时的噪声模型，项使采样时刻发生偏转，项在时间轴上加上一个随机噪声，一般认为项相对于脉冲信号很小可以忽略，只考虑项的影响。

噪声项解的分析1) 对于以上的满足如下条件：（6）由于是随机噪声源，因此也必是随机的。

满足以下条件：（7）满足以下条件：（8）其中，，定义：，2)将（5）带入（2）有：（9）（10）其中，，定义：，最终有：（11）定义方程（11）的特征解：（12）其中，是周期为T的非奇异矩阵，，，是时放大器的特征值，特征函数为，是矩阵的列，是矩阵的行，对任意的t成立。

做以上说明后，对于方程（11）的解为：（13）此处，进一步化简有：（14）正是由于振荡器的振动方程加上了和的影响，故而变得不稳定进而产生时钟抖动。

一般情况下忽略不计。

的统计特性分析()t前面已假设是一串稳定的相符统计独立的高斯白噪声所组成的向量，由前知满足方程（6）。

1) 设，的n维联合分布函数为：。

2）设一维概率密度函数为：，满足以下方程：（15）其中，，；有前面定义知，和都是以T为周期的函数，所以的表达式可知它是以T为周期的周期函数。

设（16）3)定义的特征函数为：且满足：（17）（18）其中，，所以，，。

c反映了振荡器的稳定度，对于一般的积分振荡器c的取值在到范围之内，对于恒温晶体振荡器（Oven Controlled Crystal Oscillator (OCXO)），c的取值可达到，c越小则振荡器的性能越好。

（18）式表示的是一个高斯变量的特征函数，且此高斯变量的方差随时间线性增加，即实际上是一个维纳过程。

4)可计算出的自相关函数为：也即，，其中m, c均为常数，如前所求；由此可知的自相关函数与采样时间有关，即是非平稳的。

一般认为，，且与无关，即是一个独立增量过程。

综上，是：非平稳的二阶矩过程独立增量过程在t时刻服从高斯分布，均值为0，方差为由于在t时刻的方差随时间线性增长，由维纳过程的定义：若一个随机过程{X(t),t>=0}满足：(1)X(t)是独立增量过程；(2)任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望为0，方差为c^2*t的正态分布；(3)X(t)关于t是连续函数。

则称{X(t),t>=0}是维纳过程(Wiener process)或布朗运动。

由此可知是一个维纳过程。

经过以上分析可知，振荡器之所以产生的信号会有误差，其主要原因是其时间因子上加入了一个维纳过程的时间抖动，它是一个非平稳过程，从而在接收端用本地信号进行采样时其时间上会存在一个抖动也就是我们常说的时钟抖动。

时钟抖动在采样中的影响文献【2】、【3】中分别从不同的角度分析了ADC采样过程中，时钟抖动噪声的功率谱、信噪比等特性的分析。

再此部分理论分析时，我们采用文献【2】中将一般信号进行复数形式的傅里叶展开的办法分析时钟抖动对一般信号在功率谱的信噪比方面的影响的影响。

在后面一部分的仿真过程中则仿造文献【3】中，对单频信号，或则很少的几个单频信号相加的和信号进行分析。

ADC采样模型此处以Σ-ΔADCs为例其模型如图三所示。

图三、Σ-ΔADCs采样模型在用本振信号进行采样时，存在时钟抖动，抖动模型正如前面所分析。

对时钟抖动信号的功率谱和信噪比分析1)设输入为周期信号，周期为T0，，，则ADC的输入信号可表示为：（19）假设各频率分量的初始相位之间相互独立且服从内的均匀分布，（20）进一步写为：（21）其中满足： （22）即各频率分量之间相互正交，是宽平稳的。

2)设采样周期为T ，为n 时刻的始终抖动，则有第n 个采样时刻为：，与第一部分中的关系为：()Jn nT α=。

所以采样误差为：（23）所以始终抖动误差信号的平均功率为：即，（24）（24）成立是因为前面所讲，个频率分量互不相关。

由于是均值为0的高斯变量，故有，所以，，从而有：（25）的自相关函数为：进一步求得：（26）3)若令，这输入信号变为非周期信号，此时设输入信号的功率谱密为，则此时噪声信号的平均功率为：（27）自相关函数为：（28）此时信号对时钟抖动噪声的信噪比为：（29）4) 由前面的建模知： 00J =，1ni Jn i δ==∑，1n n i J J δ-=-，显然由第一部分可知是独立增量过程，即各i δ之间相互独立，~(0,)i N cT δ。

还满足：0Jn μ=，2()Jn nT cnT ασσ==，~(0,)Jn N cnT 。

此时以上各式中：（30）（31）其中，即为Jn。

5)将式（30）、（31）带入（26）式可得周期信号的自相关函数为：（32）由于自相关函数不仅与时间差k=n-m有关，而且与绝对采样时间n有关，所以是一个非平稳的随机过程。

令时，（32）式存在傅里叶变换(k个点的离散傅里叶变换)，此时可近似的利用维纳-辛钦公式求出信号的功率谱：（33）6)对于实际的采样点数不可能满足，因此（33）式并不能用于实际检验，为此，我们先去一个最大采样点数N，让采样点数n从0到N-1变化，每个n都会得出一个功率谱密度函数，最终在N限制下的平均功率谱密度取为：（34）当平均采样时间间隔NT很大时，此平均功率谱密度近似为：（35）其中，（36）反映噪声功率谱在信号频谱上相对于信号功率的增益；随的增加而很快增加。

（37）反映的是当N有限时对的洛伦兹频谱想得一个加权滤波（相当于频谱上的窗函数）；是一个复振荡信号，故也有复振荡分量；随着平均采样时间NT的增大而减小，当NT很大时，在为的整数倍处为0，在取其它值是近似为1.通过以上的分析知，当平均采样时间NT很大时，时钟抖动引起的噪声功率谱分为两部分，第一部分是在每个信号频谱分量上叠加了一个噪声，噪声功率对信号功率的增益为，在其它频谱上也引入了噪声项，由于是一个快衰减信号，如图四所示。

所以这一项噪声信号也集中在各个信号频谱周围。

图四、函数图形总的效果就是，采样时钟抖动最终在源信号谱周围很窄的频带内加入了噪声项，即时钟抖动噪声并不是白噪声，它不能像处理高斯白噪声那样通过过采样来提高信噪比，且随着信号频率的增加在周围的噪声将增大。

时钟抖动噪声特性的仿真分析通过前面几个部分的分析，我们得出了噪声的如下几个特征：是方差随时间线性增长的维纳过程。

信号谱上的噪声功率随频率升高而增大。

噪声谱分布在信号谱周围很窄的频带内，相当于带内噪声，无法通过过采样来提高信噪比。

针对时钟抖动噪声的如上特性，我们从以下四个方面进行了仿真。

通过对单频正弦信号进行多次采样求平均，以验证在一次过程中是否采样点越靠后的点噪声功率越大。

通过对多个单频正弦信号的和信号进行采样，以验证噪声功率谱分布是否分布在信号频谱周围，且观察是否对于信号的高频分量的噪声功率更大。

对同一个正弦信号采样多次，改变过采样率，即在总时间不变的情况下增加采样点数N ，画出信噪比曲线，看信噪比对过采样率的变化规律。

对同一个正弦信号进行多次采样，改变采样点数N （采样周期不变），画出信噪比随N 的变化规律，并与第二部分中的理论值对比。

随采样时刻的变化特性的仿真对于单频信号：()cos(2)s nT A fnT πφ=+ （38）()cos(2())n n s nT J A f nT J πφ+=++ （39）()()()cos(2())cos(2)2sin()sin(2)2sin(2)n n n n e nT s nT J s nT A f nT J A fnT A fJ fnT fnT A fJ fnT πφπφπππφππφ=+-=++-+=-++≈-+ （40）从（40）式可以看出第n 个采样时刻的误差是与n 时刻的抖动误差n J 成正比的，e(nT)随采样时刻的平均功率的包络即是n J 的方差随n 的变化情况，即随n 线性增长。

仿真结果如图五所示。

图五、噪声功率随采样时刻n的变化情况从图五也验证了（40）式的正确性。

时钟抖动噪声的功率谱分析此处仿真时采用了3个单频信号的叠加情况的，且它们的频率是倍频关系。

信号功率谱如图六所示。

图六、3个单频信号的功率谱（频谱）采样并加入时钟抖动之后的功率谱如图七所示。

图七、采样之后的功率谱可以看出，随着信号频率的升高，在信号谱上叠加的噪声是快速增加的。

我们将信号放大看的更清楚些，如图八所示。