北师大版·统编教材高中数学必修4
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α＝β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x １
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以－β代β
S(α+β) C(α+β)
以－β代β
作 商 T(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
β＝α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结：注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值： （1）2cos105 cos15 ；
（3）1
tan15 tan2 15
；
例3 求证：
（2）5 5 sin2 15 ； 18 9
（4）sin
π 24
cos
π 24
cos
π 12
．
sin 1 sin cos 1 cos sin 1 sin cos 1 cos
sin 2
二、巩固练习
（1）化简
sin sin 2 1 cos cos 2
tan θ
2 （2） 8cos π cos π cos π sin π ____2___
1 2sin2 1 sin 2 (sin cos )2
一、知识梳理
灵活运用公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
sin 4 2sin 2 cos 2
sin 2sin cos
22
sin 2sin cos
32 16 8 32
（3）若
f
x
2tan x
2sin2 x 1 2
xx sin cos
，则
f
π 12
___8____
22
二、巩固练习
（3）若
f
x
2tan x
2sin2 x 1 2
sin x cos x
，则
f
π 12
___8____
22
1 2sin2 x
f ( x) 2tan x 2
5
解： sin 3 ,是第三象限角
5
sin 2 2sin cos
cos
1 sin2
1 ( 3 )2 4
5
5
sin 2 2sin cos 2 ( 3) ( 4) 24
5 5 25
cos 2 1 2sin2 1 2 ( 3)2 7
5 25
cos 2 cos2 sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
谢谢观看
1 tan tan
一、知识梳理
二倍角公式：
sin 2 2sin cos
S2
cos 2 cos2 sin2 C2
tan 2
2 tan 1 tan2
T2
kπ π，且 kπ π k Z
24
2
一、知识梳理
二倍角公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
公式特点
公式左端的角是右 端角的二倍
公式变形：
cos2 1 sin2
1 cos 2 2cos2
降 (升)
cos 2 cos2 sin2
幂 1 cos 2 2sin2
公 (1 sin2 ) sin2 式 1 sin 2 (sin cos )2