第一章 函数极限与连续（一） 本章重点（important points ）：1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N 与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。

2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。

3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。

4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good ！）。

5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。

（二） 知识点分析（analysis ）：常用不等式1） 绝对值不等式： ||x |−|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2） 三角不等式： |x −z |=|x −y +y −z |≤|xy |+|yz | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)：若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality （柯西不等式）： (∑x i y i ）n i=12≤(∑x i2n i=1)∙(∑y i 2ni=1) 5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x7) (1+1n )n<(1+1n+1)n+1&& (1+1n)n+1>(1+1n)n+2即：数列{(1+1n )n } 单调递增， 数列{(1+1n )n+1} 单调递减。

8） 设 x ∈z +, 则 1x+1<ln (1+1n )<1x9) 设 x ∈z +, 则2√n<1∗3∗5∗...∗(2n−1)2∗4∗6∗.. (2)<√2n+1二． 不等式的运用案例eg1. 证明柯西不等式 (∑x i y i ）n i=12≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)证法一：（构造一个关于t 的二次方程，并利用其判别式）因为 x i, y i ∈R, i =1,2,3…..,n. 所以 ∀t ∈R ， 有(x i +ty i )2≥0.→f (t )=∑(x i +ty i )2n i=1=∑x i 2+(2∑x i y i n i=1)t +(∑y i 2n i=1)n i=1t 2≥0若∑y i 2=0,则。

n i=1 若∑y i 2>0n i=1,则有判别式∆≤0 故 4（∑x i y i n i=1）2≤4∑x i2∙∑y i2≤0n i=1n i=1→(∑x i y i ）n i=12≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)三． 求极限的方法：1.利用极限的基本性质与法则。

2.利用数列求和。

3.利用两个重要极限。

4.利用对数恒等式（主要是解有关幂指型函数的题）。

5.利用函数的连续性。

6.利用无穷大与无穷小的关系（无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小；无穷大加无穷大不一定等于无穷大；）四． 数列的极限：若对0>∀ε（不论ε多么小），总∃自然数0>N ，使得当N n >时都有ε<-a x n 成立，这是就称常数a 是数列n x 的极限，或称数列n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）。

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注：1：ε是衡量n x 与a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。

然而，尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为不变。

（另外，ε具有任意性，那么2,2,2εεε等也具有任意性，它们也可代替ε）2：N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的。

在解题中，N 等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，有ε<-a x n 就行了，而不必求最小的N 。

Eg2.证明1lim22=+∞→na n n 。

证明：对0>∀ε，因为ε<=-+nn n 111,因为n a n a n n a n a n 222222)(1<++=-+ （此处不妨设0≠a ，若0=a ，显然有1lim22=+∞→na n n ） 所以要使得ε<-+122n a n ，只须ε<na 2就行了。

即有ε2a n >. 所以取][2εa N = ，当N n >时，因为有ε<na 2⇒ε<-+122na n ，所以1lim 22=+∞→na n n 。

注：有时找N 比较困难，这时我们可把a x n -适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于ε，那么必有ε<-a x n 。

Eg3. 设1<q ，证明ΛΛΛΛ,,,,,112-n q q q 的极限为0，即0lim 1=-∞→n n q 。

证明：若0=q ，结论是显然的，现设10<<q ，对0>∀ε，（因为ε越小越好，不妨设1<ε），要使得ε<--01n q ，即ε<-1n q ，只须两边放对数后，εln ln )1(<-q n 成立就行了。

因为10<<q ，所以0ln <q ，所以qn q n ln ln 1ln ln 1εε+>⇒>- 。

取⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=q N ln ln 1ε，所以当N n >时，有ε<--01n q 成立。

定理1：（唯一性）数列nx 不能收敛于两个不同的极限。

证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。

由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n …(1) 当2N n >时，有ε<-b x n …(2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。

现考虑：εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。

注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。

若a x n n =∞→lim ，lim n n x b →∞=，则a b =若0()lim ()x x x f x A →∞→=0()lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = 定理2. （有界性）若数列nx 收敛，那么它一定有界，即：对于数列n x ，若∃正数M ，对一切n ，有M x n ≤。

证明：设a x n n =∞→lim ，由定义对∃=,1ε自然数,N 当N n >时，1=<-εa x n ，所以当N n >时，a a a x x n n +<+-≤1，令}1,,{21a x x x Max M N +=ΛΛ，显然对一切n ，M x n ≤。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。

例如数列1)1(+-=n n x 是有界的（1≤n x ），但函数收敛。

此点希望注意！（i ）若a x n n =∞→lim ，则0M ∃>使得对,n N +∀∈恒有n x M ≤（ii ）若0lim ()xxf x A →=，则0M ∃>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M≤（iii ）若lim ()x f x A →∞=，则0,0M X ∃>>当x X>时，有()f x M≤（3）局部保号性（i ）若a x n n =∞→lim 且0(0)a a ><或则N N +∃∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或 （ii ）若0lim ()x x f x A →=，且0(0)A A ><或，则0δ∃>当0:0x x x δ<-<时，有()0(()0)f x f x ><或五． 函数的极限：定义1：如果对0>∀ε（不论它多么小），总0>∃δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时）注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>∃δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧∈x U x 。

显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε。

一般地，ε越小，δ相应地也小一些。

2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）。

3：几何解释：对0>∀ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,。

由定义，对此0,>∃δε。

当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(。

即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）。

换言之：当),(0δ∧∈x U x 时，),()(εA U x f ∈。

从图中也可见δ不唯一！定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0，（i ） 若)0(0<>A A ，则0>∃δ，当),(0δ∧∈x U x 时，0)(>x f )0)((<x f 。

（ii ） 若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A 。

证明：（i ）先证0>A 的情形。

取2A=ε，由定义，对此0,>∃δε，当),(0δ∧∈x U x 时，2)(A A x f =<-ε，即0)(232)(220>⇒=+<<-=<x f AA A x f A A A 。

当0<A 时，取2A-=ε，同理得证。

（ii ）(反证法)若0<A ，由(i)0)(<⇒x f 矛盾，所以0≥A 。

当0)(<x f 时，类似可证。

注：(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”。

在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A 。

定义2：对0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，[当δ+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称A 为)(x f 当0x x →时的左[右]极限，记为A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)0(。