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3.2 高斯消去法
本节介绍高斯消去法(逐次消去法)及消去法和 矩阵三角分解之间的关系. 虽然高斯消去法是一种 古老的求解线性方程组的方法(早在公元前250年 我国就掌握了解方程组的消去法)，但由它改进、 变形得到的选主元素消去法、三角分解法仍然是目 前计算机上常用的有效方法.我们在中学学过消去 法,高斯消去法就是它的标准化的、适合在计算机 上自动计算的一种方法.
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(7) 矩阵的行列式 设A∈Rn×n，则A的行列式可按任一行(列)展开,
n
det( A) aij Aij (i 1,2,, n), j1
其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+jMij，Mij为元 素aij的余子式.
行列式性质：
(a) det( AB) det( A)det( B), A, B Rnn . (b) det( AT ) det( A), A Rnn .
(c) det( cA) cn det( A), c R, A Rnn . (d ) det( A) 0 A是非奇异矩阵.
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定理1 设A∈Rn×n，则下述命题等价： (1) 对任何b∈Rn，方程组Ax=b有唯一解. (2) 齐次方程组Ax=0只有唯一解零解x=0. (3) det(A)≠0. (4) A-1存在.
的数值解法.
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3.1.1 引言
在自然科学和工程技术中,很多问题归结为解线 性方程组.例如电学中的网络问题，船体数学放样 中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数 据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分 法或者有限元方法解常微分方程、偏微分方程边值 问题等都导致求解线性方程组，而这些方程组的系 数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠密矩阵(例如， 阶数不超过150). 另一种是大型稀疏矩阵(即矩阵阶 数高且零元素较多).
或写成矩阵形式
(2.1)
a11 a12 a1n x1 b1
a21
a22
a2n
x2
b2
.
am1 am2 amn xn bm
简记为Ax=b.
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当m=n时，对三角形方程组的解非常容易，如
如: 上三角矩 阵所对应 的线性方 程组
u 11 x 1 u12 x 2 u 1n x n b 1
x2
xm
A a1 a2
(m维列向量).
an ,
其中aj为A的第j列的m维列向量. 同理
b1T
A
b2T
,
bmT
其中biT为A的第i行的n维行向量.
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矩阵的基本运算： (1) 矩阵加法
C A B cij aij bij ( A, B,C Rmn ).
(2) 矩阵与标量的乘法
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3.1.2 向量和矩阵
基本概念：
用Rm×n表示全部m×n实矩阵的向量空间；
用Cm×n表示全部m×n复矩阵的向量空间.
a11
A
Rmn
A
(aij )
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
(由数排成的矩阵表，称为m行n列矩阵).
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x1
x
Rm
x
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3.2.1 高斯消去法
设有线性方程组
a11 a21
x1 x1
a12 a22
x2 x2
a1n xn a2n xn
b1 , b2 ,
..............................................
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
I e1 e2 en Rnn ,
其中 ek (0,,0,1,0,,0)T , k 1,2,, n.
(6) 非奇异矩阵
若A, B Rnn , 且 AB BA I .
则称B是A的逆矩阵，记为A-1，且(A-1)T=(AT)-1. 如 果A-1存在，则A称为非奇异矩阵. 如果A、B均为非 奇异矩阵，则有(AB)-1=B-1A-1.
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种 方法也只能求得线性方程组的近似解. 本章将阐述这 类算法中最基本的和具有代表性的算法就是高斯消 元法,以及它的某些变形和应用.这类方法是解低阶稠 密矩阵方程组及某些大型稀疏矩阵方程组(例如，大 型带状方程组)的有效方法.
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2. 迭代法 就是用某种极限过程去逐步逼近方程组精确解的 方法. 迭代法具有计算机的存储单元较少、程序设计 简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点， 但存在收敛条件和收敛速度问题.迭代法是解大型稀 疏矩阵方程组(尤其是由微分方程离散后得到的大型 方程组)的重要方法. 为了讨论线性方程组数值解法，需复习一些基本 的矩阵代数知识.
u 22 x 2 u 2n x n b 2
第3章 线性方程组的数值解法
• 3.1 引言与预备知识 • 3.2 高斯消去法 • 3.3矩阵三角分解法 • 3.4向量和矩阵的范数误差分析 • 3.5迭代方法
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3.1 引言与预备知识
这一章讨论线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 , .................................................. am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
C A cij aij (A,C Rmn,是一个数).
(3) 矩阵与矩阵的乘法
n
C AB cij aik bkj ( A Rmn , B Rn p , C Rm p ). k 1 (4) 转置矩阵 A Rmn ,C AT Rnm cij a j问题的数学模型中虽不直接表现为含线性方 程组,但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性 化”为线性方程组.因此线性方程组的求解是数值分 析课程中最基本的内容之一.
关于线性方程组的解法一般有两大类：
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1. 直接法 经过有限次的算术运算,可以求得方程组的精确解( 假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到 的克莱姆算法就是一种直接法.但该法对高阶方程组 计算量太大,不是一种实用的算法.