function f1f2=fun_obj(x,ww) f1f2=ww(1)*(5*x(1)+3*x(2))-ww(2)*(x(1)+x(2));
(1)取权系数w1=0.5 ,w2=0.5 时最优解为
X*=[5 10],
f
1
(
x)
55元
f2 ( x) 15kg
（2)取权系数w1=0.2 ,w2=0.8时最优解为
解：通俗地说，这是一个如何安排资金，少花钱多
办事的问题。设购买菠萝x1 kg，苹果x2 kg。可以 列出如下的优化数学模型：
min f1(x) 5x1 3x2 max f2 (x) x1 x2
x R2 x R2
s.t. 5x1 3x2 70
x1 x2 15
x1 5
x2 0
(1)如果只考虑目标函数 min f1(x) 5x1 3x2 则应用Matlab求解的程序为：
X (x1, x2 ,..., xn )T
1
min
f
(
X
)
L
[ fi (X )
fi*
]2
2
i1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续）
3、平方和加权法
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]=
fminimax(@fun,x0, A[ ,b[,A[e]q,,b[e]q,,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
], ],
7.4 功效系数法
基本思想：
先按各子目标值的“优”或“劣”（即“功 效”）分别求出与其对应的功效函数，然后再由 各个功效函数构造出问题的评价函数进行求解。
例： 现有现金70元，可用来可用来购买菠萝和苹果 。 菠 萝 5 元 /kg ， 苹 果 3 元 /kg ， 要 求 总 斤 数 不 少 于 15kg，菠萝不少于5kg。 问：(1) 购买菠萝和苹果各多少斤，才能在满足要求 的条件下花钱最少？(2) 购买菠萝和苹果各多少斤， 才能在满足要求的条件下所买的菠萝和苹果最多？
ft0 (t 1, 2,..., L) ——原问题第t个目标函数的上限值。
7.4极大极小法 MATLAB：函数fminimax
一、多目标优化问题数学模型 各分目标函数
min max {f1,f2,…,f3}
s.t. AX≤b
（线性不等式约束）
AeqX=beq （线性等式约束）
C(X)≤0
（非线性不等式约束条件）
三、例题
已知直径为1单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻
和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。
解:(1)建立优化设计的数学模型
①设计变量：
矩形截面的宽和高
x2
X=[x1,x2]T
②目标函数：
x1
重量→截面积：minf1(X)=x1x2
弯曲强度→ 矩形截面矩量:
min
f2
(X)
设f2(X)为主要目标函数，则优化的数学模型为：
X (x1, x2 ,..., xn )T min f2 ( X ) s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k) ft ( X ) ft0 (t 1, 2,..., L)
二、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
将多目标优化问题转化为单目标优化问题 （统一目标函数法） 解法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想
统一目标函数法就是设法将各分目标函数 f1(X),f2(X),…,fl(X) 统 一 到 一 个 新 构 成 的 总 的 目 标 函 数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
x R2
%li9_1 f=[5 3]; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0;0]; [x,f,exitflag]=linprog(f,A,b,[ ],[ ],xl) 最优解为：
X*=[5 10],
f
1
(
x
)
55元
f2 ( x) 15kg
(2)如果只考虑目标函数 max f2 (x) x1 x2 x R2
x1x
2 2
/
6
③约束条件:含性能约束和边界约束
性 能 约 束 h(X) x12 x22 1
等式约束
g1(X) x1 0 g3(X) x2 0
边 界 约 束 g2(X) x1 1 0 变量x1的上下限
g4 (X) x2 1 0 变量x2的上下限
(2)编制优化设计的M文件
%矩形截面梁两目标优化设计的目标函数文件
L
即评价函数为： f (X ) i fi (X ) i 1
f1(X ), f2(X ),..., fL(X ) ——各子目标函数
1,2,...,L ——权数
L
i 应满足归一性和非负性条件
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
优化的数学模型为
X (x1, x2 ,..., xn )T
基本思想：在理想点法的基础上引入权数 i 构造评价函数。
目标函数：
X (x1, x2 ,..., xn )T
L
min f ( X ) i[ fi ( X ) fi*]2
i 1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
一、多目标优化及数学模型 设计车床齿轮变速箱时，要求：
各齿轮体积总和 f1(X) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3(X) 尽可能小。
传动效率尽可能高
机械耗损率 f4(X) 尽可能小。
在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的 问题称为多目标优化设计问题。兼顾多方面的要求 ，则称为多目标优化问题。
(1) 专家评判法（老手法）
凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
（2）容限法
若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：
i fi (X ) i , i 1, 2,..., L
则称
fi X
)
i
i
2
(i
1,
2,...,
L)
为该目标函数的容限
这时权数可取为：i 1 fi (X )2 ,i 1, 2,..., L
X*=[5 15]
f1( x) 70元
f
2
(
x
)
20kg
权因子的确定方法：
在确定权因子前，应先将各子目标函数进行 无量纲化，处理的方法是：
fi
(X
)
fi'(X ) min fi' ( X
)
X D
fi' ( X ) 是多目标问题中某个带量纲的子目标；
fi ( X ) 是作了无量纲处理后的第i个子目标函数
i 满足归一性和非负性条件
L
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
7.3 主要目标函数法 基本思想：从所有L个子目标函数中选出一个设
计 者 认 为 最 重 要 的 作 为 主 要 目 标 函 数 ， 而 将 其 余 L-1 个子目标限制在一定的范围内，并转化为新的约束条 件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
目标函数在最优解的海色矩阵
fminimax(@fun,x0, A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
目标函数文件名
初始点
线性不等式约束的常数向 量
线性不等式约束的系数矩
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
附加参数 设置优化选项参数 非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩
L
min f ( X ) i fi ( X ) i 1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
注意：
1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。
2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
clc; clear all; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0,0];x0=[0,0]; w(1,1)=0.5;w(1,2)=0.5; w(2,1)=0.2;w(2,2)=0.8; for i=1:2 [x,f,exitflag]=fmincon(@(x)fun_obj(x,w(i,:)),x0,A,b,[ ],[ ],xl) f1=5*x(1)+3*x(2) f2=x(1)+x(2) end
Ceq(X)=0 （非线性等式约束）
Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
函数fminimax
二、优化函数使用格式
返回目标函数的最优解 返回目标函数的最优值
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构
返回目标函数在最优解的梯度
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]=
即：
minF (X ) minF ( f1(X ), f2(X ),..., fl (X ))
X D
X D