2 z ∋| & | z
1
+ de
∋| & |z
2
( 9) ( 10) = - i& d ∃( & , z) dz
对式 ( 5) 中的边界条件取傅氏变换, 可得象域里的边界条件为 ( 这里先求 P = 1 时的基本解 ) 。 = 0,
zx
= p
当体力为零时, 式( 5) 的傅氏变换为
x
=
d ∃( & , z) 2 , dz i , |& |& (∋ 1- ∋ 2)
王春河
( 中铁十四局集团有限公司 , 山东 济南 250002)
摘
要 : 根据横观各向同性体的基本方程 , 运用数 学力学方法得出了横观各向同性地基的 平面塞露蒂 ( Cerruti) 问题
的基本解 , 然后利用积分的方法分别得出了横观各向同性地基在条形面积上作用有水平 均布荷载 、 水 平三角形 分布荷载 及水平梯形分布荷载的应力计算公式 , 并利用测出的一组弹性参数 , 将横观各向同性地基 中的附加应 力与现有 的计算理 论给出的各向同性地基中的附加应力通过图形作分析比较 , 得出了一些有利于工程安全 设计的结论 , 供岩土工 程设计人 员参考 。 关键词 : 横观各向同性地基 ; 本构方程 ; 应力解 ; 傅氏变换 中图分类号 :TU431 文献标识码 : A 文章编号 : 1671- 0231( 2003) 04- 0085- 06
4 2 E1 ∀ 2 d ∃ (& , z) 2 1 2 d ∃( & , z) 4 1 2 1 ( 1- ∀1 ) - & ( 1+ ∀ 1) ∀ 2 + & ( 1) ∃( & , z) = 0 4 2 G2 E2 E2 E2 E2 dz dz 2
( 7)
式( 7) 为四阶常系数微分方程, 其通解为: ∃( & , z ) = ae 1 + be 2 + ce 1 + de 2 ( 8) 式中 a 、 b、 c、 d 均为傅氏变换参数 & 的函数, 可根据边界条件确定。 a 1 、 a 2 为关于 ∋ 的四次代数方程 的两个正实数根 : 1 2 4 ( 1- ∀1 ) ∋ E1 E1 ∀ 1 - 2 ( 1+ ∀ ) ∀ 2 1 2 1 2 ∋+ ( 1)= 0 G2 E 2 E2 E2
pA 2 x- a x+ a a tan ∋ z - a tan ∋ z ( 2 2
图2 在条形面积上作用水平均布 作用水平三角形分布荷载的附加应力解
对于条形基础受倾斜荷载、 风荷载的情况 , 若其水平分量沿条形基础的宽度方向变化率相同 , 且在 y
横观各向同性现象在地质材料中比较常见。如在沉积过程中形成的层状结构粘土层、 页岩等 , 不同薄 层内的矿物成份及物理力学性质是不同的, 在水平方向可以近似地看成各向同性, 但在垂直方向其性态的 差异就比较大。所以类似这样沉积形成的天然地基, 其应力、 应变关系就可以采用横观各向同性地基模型 来描述。象公路、 铁路的路基也属于这种情况。前人对横观各向同性地基模型已做了一些研究
3
z = -
2xz 2 2 2 ; (( x + z )
2
= -
2x z 2 2 2 , 这与在水平集中力作用下的各向同性半无限体的附加应力的解析解相吻合, 这也证 ( (x + z )
明了笔者所推导出的式( 14) 的正确性。
2
横观各向同性地基在条形面积上作用水平均布荷载的附加应力解
一般情况下 , 公路、 铁路以及条形基础受倾斜荷载作用时, 可将倾斜荷载分解为垂直荷载与水平荷载
轴上为零时, 如图 3 所示( 垂直线表示该处所受荷载的大小) , 则地基中任一点的附加应力可利用平面塞露 蒂基本解式( 14) 在区间 [ 0, b ] 上积分求解在 xoz 平面内附加应力解析解。其计算结果如下:
x
x ( x - b) + ∋ 1z x- b x p ln + b+ ∋ - a tan ) 1 2 2 2 1 z ( atan = 6( A 1 ∋ 2 ∋ 1z ∋1 z x + ∋ 1z
将式 ( 13) 作傅氏逆变换可得应力分量为
x
= =
A1 ∋ 1 -
z
A 1 G( x , ∋ A2 G ( x, ∋ 1 z) 2z ) + p ∋1 x ∋ 2 x G(x , ∋ 1z ) G( x , ∋ 2 z) - A2 p (∋ 1 z) ( ∋2 z ) G( x, ∋ iz ) = 1 2 2 ln[ x + ( ∋ iz ) ] ; 2( G( x , ∋ iz ) = - 1 2 x 2 , ( i = 1, 2) 。 x (x + ( ∋ iz )
2 - ∋| & |z - ∋| & |z ∋| & |z ∋ |& |z
1. 2. 2 横观各向同性体平面问题的两种求解思路 a) 第一种求解思路 ∃( & , z)
经傅氏逆变换
∃( x , z )
代入边界条件
x
,
z
,
zx
, u, w
b) 第二种求解思路
86
边界条件
经傅氏变换
∃( & , z)
[ 8, 9]
同性地基中的解由塞露蒂给出, 而在横观各向同性地基中的解析解, 经典的弹性力学并没有给出。这里也沿 用这个名词, 称之为横观各向同性地基的平面塞露蒂问题。如 图 1 所示的坐标系, 以水平线分布集中力的作用点 o 为坐标原 点, 以横向平面 ( 水平面 ) 内的两个相互垂直方向为 x 、 y 轴, 以 纵向( 垂直于层面的铅直方向) 为 z 轴。其基本方程为: ( 1) 平衡方程
zx
= P# ( x)
, x= 0 0, x 0 1. 2 横观各向同性体平面问题的解法 1. 2. 1 横观各向同性体平面问题的应力函数及其傅氏变换 由几何方程式( 2) , 将 x 对 z 的二阶导数和 z 对 x 的二阶导数相加, 可得变形协调方程 : ! zx + = ( 4) x z z x 若体力为常量, 把横观各向同性体平面问题的应力分量也表示为 2 2 2 ∃ ∃ ∃ x= 2 - f x ( x) , z= 2 - f z ( z) , zx = ( 5) x z z x 式中 ∃= ∃( x , z ) 仍称为艾瑞( G. B. Airy) 应力函数。 应力函数 ∃( x , z ) 自动满足平衡方程式( 1) 。将横观各向同性体平面应变问题的物理方程式 ( 3) 代入 变形协调方程式 ( 4) , 然后再将式 ( 5) 代入, 即得到用应力函数表示的相容方程
2 2 2
x= -
zx
= A1
式中
Ai=
∋ i ; ∋ 1- ∋ 2
G( x, ∋ ∋ iz ) iz = - 1 2 2; (∋ z ) ( i x + (∋ iz ) 若令 E 1 = E 2 = E , ∀ 1= ∀ 2 = ∀, G =
2 x
E , 则式 ( 14) 变为 2( 1+ ∀)
2x 2 2 2 ; (( x + z )
在象空间求解
x
经傅氏逆变换
,
z
,
zx
, u,w
x
,
z
,
zx
, u, w
按照第一种求解思路涉及到积分方程组, 积分和求导均很繁, 而按第二种思路求解相对简单些。因 此, 笔者将按第二种思路求解 1. 3 。 横观各向同性地基平面塞露蒂问题的解答 对于正轴坐标系中的横观各向同性体平面塞露蒂问题来说, 只需考虑 Z ! 0 的下半平面 , 所以对应力 函数的象 ∃( & , z ) 只能取式 ( 8) 的后半部分, 即 ∃( & , z ) = ce 当 z = 0 时,
85
( 2) 几何方程 u w u w , , ! + z= zx = x z z x 式中 u 、 w 分别为沿 x 、 z 轴的位移。 ( 3) 物理方程 ( 本构方程 ) 由于本问题是平面应变问题, y = ! xy = ! yz = 0 , 这时横观各向同性体物理方程式为
x
=
( 2)
x
2 = 1 ( 1- ∀1 ) E1
x
x
zx
+ +
xz
z
z
+ fx = 0 ( 1) + fz = 0
x
z
式中 , f x 、 f z 分别为沿 x 、 z 轴的体积力;
x
、 y 分别为沿 x 、 z 轴的正应力 ; 为沿 x 方向的剪应力。
图 1 横观各向同性地基的平面塞露蒂问题
zx
收稿日期 : 2003- 09- 18 作者简介 : 王春河 ( 1972- ) , 男 , 山东冠县人 , 工程师 , 研究方向 : 岩土工程理论及工程施工技术与管理 .
2 2 2 x 2 x 2
E 1 ∀2 1 ) 2 ( 1% E 2
2
4 x
∃ 4 +
1 2 2 G 2 - E 2 ( 1+ ∀1 ) ∀
∃ 1 2 ∃ ( 1- ∀1 ) 4 = 0 2+ E1 x z z
4 2 4
( 6)
由此可知, 当体力为常量时, 横观各向同性体平面问题的求解归结为寻求满足方程式 ( 7) 及边界条件 的应力函数 ∃( x , z ) 。将式( 6) 对 x 作傅氏变换可得 :
x
= =
2 ∋| & |z 2 ∋ |& |z i& 2 1 (∋ - ∋ ) 2e 1 e |& |( ∋ 2- ∋ 1)