自回归模型的参数估计案例案例一：建立中国长期货币流通量需求模型。
中国改革开放以来，对货币需求量(Y)的影响因素，主要有资金运用中的贷款额(X)以及反映价格变化的居民消费者价格指数(P)。
长期货币流通量模型可设定为120e t t t t P Y X βμββ=+++ （1）其中，e t Y 为长期货币流通需求量。
由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整:11()e t t t t Y Y Y Y δ---=- （2）其中，t Y 为实际货币流通量。
将（1）式代入（2）得短期货币流通量需求模型：0121(1)t t t t t Y X P Y δβδβδβδδμ-=+++-+表1中列出了1978年到2007年我国货币流通量、贷款额以及居民消费者价格指数的相关数据。
表1年份 货币流通量Y （亿元）居民消费者价格指数P （1990年=100）贷款额X （亿元）1978212.046.2 1850.0 1979 267.7 47.1 2039.6 1980 346.2 50.6 2414.3 1981 396.3 51.9 2860.2 1982 439.1 52.9 3180.6 1983 529.8 54.0 3589.9 1984 792.1 55.5 4766.1 1985 987.8 60.6 5905.6 1986 1218.4 64.6 7590.8 19871454.569.39032.51988 2134.0 82.3 10551.3 1989 2344.0 97.0 14360.1 1990 2644.4 100.0 17680.7 1991 3177.8 103.4 21337.8 1992 4336.0 110.0 26322.9 1993 5864.7 126.2 32943.1 1994 7288.6 156.7 39976.0 1995 7885.3 183.4 50544.1 1996 8802.0 198.7 61156.6 1997 10177.6 204.2 74914.1 1998 11204.2 202.6 86524.1 1999 13455.5 199.7 93734.3 2000 14652.7 200.6 99371.1 2001 15688.8 201.9 112314.7 2002 17278.0 200.3 131293.9 2003 19746.0 202.7 158996.2 2004 21468.3 210.6 178197.8 2005 24031.7 214.4 194690.4 2006 27072.6 217.7 225347.2 200730375.2228.1261690.9对局部调整模型0121(1)t t t t t Y X P Y δβδβδβδδμ-=+++-+运用OLS 法估计结果如图1：图1 回归估计结果由图1短期货币流通量需求模型的估计式：1202.50.03577.45570.7236t t t t Y X P Y -=-+++由参数估计结果ˆ10.7236δ-=，得ˆ0.2764δ=。
由于0202.5δβ=-，10.0357δβ=，27.4557δβ=。
将ˆ0.2764δ=分别带入上述三个方程，可求得0732.6β=-，10.1292β=，226.97β=。
最后得到长期货币流通需求模型的估计式为：732.60.129226.97e t t t P Y X =-++估计结果表明：① 贷款额对我国货币流通量的影响，短期为0.0357，长期为0.1292，即贷款额每增加1亿元，短期货币流通需求量将增加0.0357亿元，长期货币流通需求量将增加0.1292亿元。
② 居民消费物价指数对我国货币流通量的影响，短期为7.4557，长期为26.97，即价格指数每增加1个百分点，将导致短期货币流通需求量增加7.4557亿元，长期货币流通需求量增加26.97亿元。
注意：尽管D.W.=1.724407，但不能据此判断自回归模型不存在自相关(Why?)。
由LM 检验或者B-G 检验可用于检验随机误差项的高阶自相关性。
LM 检验的Eviews 步骤： 1、 估计方程2、在Equation 窗口中单击“View ”→“Residual Test ” →“SerialCorrelation LM Test ”，并选择滞后期为1，屏幕将显示如图2所示的信息。
图2 回归结果在图2中，LM=0.636639，小于显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值20.05(1) 3.84x =，因此，可以接受随机误差项不存在一阶自相关性的原假设。
如果直接对下式作OLS 回归120t t t t P Y X βμββ=+++可得如图3的估计结果：图3 回归估计结果在图3中，D.W=0.959975，查自由度n=30，k=3的D.W.检验表可知dl=1.28，du=1.57，容易判断该模型随机误差项存在一阶正自相关。
事实上，对于自回归模型，μt 项的自相关问题始终存在，对于此问题，至今没有完全有效的解决方法。
唯一可做的，就是尽可能地建立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减轻。
因此，上述短期货币流通量需求模型的估计式1202.50.03577.45570.7236t t t t Y X P Y -=-+++的设定更“正确”。
案例二（格兰杰因果关系检验）根据宏观经济学可知，可支配收入与消费之间可能存在互为因果的关系。
表2中列出了1978-2006年我国居民实际可支配收入与居民实际消费总支出的相关数据，下面我们检验1978~2006年间实际可支配收入（X ）与居民实际消费总支出(Y)之间的因果关系。
表2年份 实际可支配收入（X ）居民实际消费总支出（Y ）1978 6678.800 3806.700 1979 7551.600 4273.200 1980 7944.200 4605.500 1981 8438.000 5063.900 1982 9235.200 5482.400 1983 10074.60 5983.200 1984 11565.00 6745.700 1985 11601.70 7729.200 1986 13036.50 8210.900 1987 14627.70 8840.000 1988 15794.00 9560.500 1989 15035.50 9085.500 1990 16525.90 9450.900 199118939.6010375.801992 22056.50 11815.301993 25897.30 13004.701994 28783.40 13944.201995 31175.40 15467.901996 33853.70 17092.501997 35956.20 18080.601998 38140.90 19364.101999 40277.00 20989.302000 42964.60 22863.902001 46385.40 24370.102002 51274.00 26243.202003 57408.10 28035.002004 64623.10 30306.202005 74580.40 33214.402006 85623.10 36811.20取1阶滞后，Eviews操作及输出结果为：在Eviews建立工作文件和录入数据后，格兰杰因果检验步骤为：步骤1：步骤2步骤3：单击OK后有如图1的检验结果：图1 X与Y的格兰杰因果关系检验结果在图1中，X不是Y的格兰杰原因的F=15.1022，Y不是X 的格兰杰原因的F6.34368，查m=1，n-k=28-3=25，显著性水平为5%的F分布表可知F0.05（1，25）=4.68，上述两个F统计量均大于4.68的临界值，所以均拒绝原假设，即：既拒绝“X不是Y的格兰杰原因”的假设,也拒绝“Y不是X的格兰杰原因”的假设。
另外，由相伴概率知，在5%的显著性水平下，既拒绝“X不是Y的格兰杰原因”的假设,也拒绝“Y不是X的格兰杰原因”的假设。
因此，从1阶滞后的情况看，可支配收入X的增长与居民消费支出Y增长互为格兰杰原因。
但是应该注意的是：格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。
不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。
一般首先以模型随机误差项不存在序列相关为标准选取滞后期，然后进行因果关系检验。
因此我们还得检验模型随机误差项是否存在序列相关性。
由案例一可知LM检验可以检验高阶序列相关性（包括一阶序列相关），但DW不能够。
LM检验的步骤为：(以Y为被解释变量的模型为例)1、估计模型（ls y c y(-1) x(-1)）2、在Equation窗口中单击“View”→“Residual Test”→“Serial Correlation LM Test”，并选择滞后期为1，屏幕将显示如图2所示的信息。
图2从图2检验模型随机干扰项1阶序列相关的LM检验看，以Y为被解释变量的模型的LM=0.740584，对应的伴随概率P= 0.389474，查显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值2 0.05(1) 3.84x ，表明在5%的显著性水平下，接受原假设，即该检验模型不存在序列相关性；但是，以X为被解释变量的模型中的LM=10.01871，对应的伴随概率P= 0.00155，表明在5%的显著性水平下，该检验模型存在严重的序列相关性（见图3）。
图3下面我们讨论滞后期分别为2阶和3阶的格兰杰因果检验。
2阶滞后的X与Y的格兰杰因果关系检验结果:3阶滞后的X与Y的格兰杰因果关系检验结果:从2阶滞后期开始，检验模型都拒绝了“X不是Y的格兰杰原因”的假设，而不拒绝“Y不是X的原因”的假设。
格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。
不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。
下面分析模型随机误差项是否存在序列相关。
2阶滞后的以Y为因变量的LM检验结果2阶滞后的以X为因变量的LM检验结果3阶滞后的以Y为因变量的LM检验结果3阶滞后的以X为因变量的LM检验结果滞后阶数为2或3时，两类检验模型都不存在序列相关性。
由赤池信息准则，发现滞后2阶检验模型拥有较小的AIC值。
因此，可判断：可支配收入X是居民消费支出Y的格兰杰原因，而不是相反，即国民收入的增加更大程度地影响着消费的增加。