．
（ ２ ） 若设 Ｐ （ ，ｙ ） 为切 线上任 一点 ，连接 Ｏ Ｍ．Ｄ 由Ｏ Ｍ＿ ｔ ． ＭＰ ・ ＝０ ，再 利 用数 量 积 的 坐 标 可 求得 切 线 方程 ．
【 点评 】 求 圆方程 的基本 方 法就是 确定 三个 参 数 ｎ ，ｂ ，ｒ ， 可知 ，
参量增至三个．据 已知条件列 出关 于 ０ ，ｂ ，ｒ 的方程组求解 即可．
解析 ：设 圆心 坐标 为 ａ ，ｂ ） ，圆 的半 径 为 ｒ ，
４ ａ＋３ ｂ一 １ ３＝０．
线 方 程３ 一 ４ ｙ 一 ７ ＝ ０ ， 求 出 切 点 的 坐 标 为 （ ７ ３ ， ＿ ２ １ ５ １ ） ．
解题 研 究
３ ６
Ａ ｊ
ｔ
０ Ａ ◇
１
＝ ＝ ＝塾
解得 ｎ ＝１ ，ｂ ＝ ３ ， ｒ ＝粤 ．
）
塑
用点斜 式求切 线的方程 ，而 由圆的切 线性质 可求其斜 率 ，所 以
可 求得 切 线 方 程 为 ｘ ｅ ｘ＋ ｙ ｏ Ｙ＝ｒ ２ ．
因此 ，所求圆的方程为（ 一１ ） ｚ ＋（ 一３ ） ：
探 究交流 ，最终 达到学 习数 学、初步研 究数 学的 目的 ，有效地 避 免题 海战术 ，增强探 究意识 ，激发 学习兴趣 ，培 养 了学生的
科 学探 究精神． 关键词 ：切线方程 ；课本 习题 ；教 学设计
设 计 变 式 问 题 ，引导 学生 探 究
肘 （ ７ ３ ， ） 的 圆 的 方 程 ．
分析 ：设 圆心 坐标为 （ ｏ ，ｂ ） ，圆方程 中的参 量增 至两个 ，
据 已知 条件 ，切点在 圆上 ，圆心到切线 的距 离等 于圆的半径 ｒ ，
用待 定 系数 法 求 解 即 可．
一
【 点评 】此题变式的作用在 于增加 参量，锤 炼学生灵活思考
的 能力 ．
、
问题 １ ：求 以 ｃ （ １ ，３ ） 为圆心 ，并 且与直线 ３ 一４ ＇ ， 一７＝０ 相切 的圆的方程．（ 详见 《 普通 高中课程标 准实验教科书 ・ 数学 ２
（ 方法 ２ ）将直线 Ｃ Ｍ 的方程 乱 ＋３ ｙ一１ ３ ＝０和切线方程 ３ ｘ一
４ ｙ 一７＝０联 立 求解 即可 ．
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ４ — １ ９
二 ＝ ２ ｌ ： ，
则据 已知 条 件 ，得 ２
５ ， ’
＝
５ ２ ３ ｌ
，
（ 必修） 》（ 人 教 Ａ版 ） 第 １ ３ ２页第 ３ 题． ）
思考 ２ ：已知圆的方程和切线 方程 ，能否求 出过切点垂直 于 切线 的半径所在直线 ？
分 析 ： 由切 线 方 程 得 知 其 斜 率 ，并 由此 求 出半 径 所 在 直 线 的斜 率为 一 ４ ，再 用 点斜 式 方 程 可 求 ．
１ Ｏ Ｍ ｌ ２ ＋Ｉ Ｊ ： ＝ｌ Ｏ Ｐ ｌ ，再利用两点间距离公式亦可求得切线
方程 ．
否求 出直 线 Ｐ Ｃ的方程 ？
分 析 ：令 ＝０ ，则 ｙ＝一 ７
，
（ ４ ） 若 设 所 求切 线 的 方 程 为 Ｙ—Ｙ ｏ ＝ｋ （ — 。 ） ， 由 圆心 到 切 线 的距 离等 于 圆的 半 径 亦可 求 得 切 线 方程 ．
ｊ
分析 ： 已知 圆心 坐标 ，只 需再求 出 圆方 程 中的一个 参量 ｒ
即 可 ，根 据 已知 ，半 径 ｒ 等 于 圆心 Ｃ到 这 条 直 线 的距 离．
解 ：如 图 １ ，
因 为 圆 Ｃ和 直 线 ３ 一４ ｖ一７：０
相切 ，
思考 ３ ：圆被 ｙ轴所截的弦长怎样求？
求此 圆 的方 程 ． 分 析 ：设 圆心 坐标 为 （ ０ ，ｂ ） ， 圆的半 径 为 ｒ ，这样 圆方程 中的
思考 １ ： 已知 圆 的方 程 和 切 线 方 程 ，能 否 求 出 切 点 的 坐 标 ， 怎样求？ 解 ：（ 方法 １ ）联 立 圆 的方 程 （ 一１ ） ＋（ 一３ ） ＝ 和 切
所 以半径 ｒ 等 于圆心 Ｃ到这 条直
线的距离． 根 据 点 到直 线 的距 离 公 式 ，得 ｒ ＝
（ ＝ ＿
Ｏ
／
分 析 ：在 圆方 程 中令 ：０ ，得 （ ｙ一３ ） 。 ＝
Ｖ＇ ２ ３１ ＋ ３
—
ｊｙ ． ． ＝
±—

，
于是弦长 ＝ｌ ｙ ｌ — Ｙ ２ Ｉ ＝— ２ ￣ — ／ ｒ ２ ３ １
基金项 目：甘肃省定西市教育科学 “ 十二五”规 划课题—— 回归课本探 源 ，提 高数 学复 习实效 （ 课题批 准号：Ｄ ｘ［ ２ ０ １ ２ ］ ＧＨ Ｂ ４ ６ ） ．
作 者简介 ：何伟 军 （ １ ９ ６ ２ 一） ，男，甘肃渭源人 ，中学高级教 师，甘肃省定西 市优秀教师和骨干教师 ，主要从事 中学数 学教 育教 学和高考试题及
即 “ 选形 式 、定 参数 、列方程 组” ．解决 与弦长有 关的 问题 ，注 意运用半径 、弦心距 、弦长之半构成 的直角 三角形． 思考 ４ ：切线 Ｚ ：３ 一 一７＝０与 Ｙ轴的交点 Ｐ是 什么？能
（ ３ ）若 设 Ｐ （ 。Ｙ ） 为切 线 上任 一 点 ，根据 勾股 定理 可得 ：
中国
２ ０ １ ３年 第 １ １ 期
Ｚ ＨＯＮＧＧＵＯ Ｓ ＨＵＸＵＥ Ｊ Ｉ Ａ０ＹＵ
摘 要 ： 以一 道 课 本 习题 提 出 问题 ，通 过 问 题 诱 思 ， 变 式 设
变式 １ ：求 半 径为
，并 与直 线 ３ 一４ ｙ一７：０切 于点
计 ，从 多种角度挖掘课 本 习题 的潜在 功能 ，并通过 分析 、思考、
．
；
变式 ２ ：圆心在直线 ＋３ ｙ 一１ ３ ＝ ０上且到直线 ３ 一 ４ ＇ ， 一７ ＝ ０ 的距离恰 等 于圆 的半 径 ，在 Ｙ轴上所 截得 的 弦长为 ，
Ｌ ×ｌ 二 ４ × ７ １ ｌ ：ｌ ６
、 ／ ＋（ ５
／ Ｐ
图 １
．
因此 ，所求 的圆的方程是 （ —１ ） ＋（ ｙ一３ ） 一 ２ ５ ６