第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
§5.1 二次型及其矩阵表示
问题的引入
解析几何中
中心与坐标原点重合的有心二次曲线 f ax2 2bxy cy2
又 B (CAC ) CAC CAC B
Y BY g( y1, y2 ,..., yn )是一个 y1, y2 ,L , yn 二次型.
§5.1 二次型及其矩阵表示
三、矩阵的合同
1、定义 设 A, B Pnn，若存在可逆矩阵
C Pnn , 使 B CAC，则称A与B合同(congruent). 注意 1. 合同具有 反身性（reflexivity）：A EAE
| C1C 2 || C1 || C 2 | 0, 即C1C2可逆. 2. 合同矩阵具有相同的秩. 3. 与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与 原二次型矩阵是合同的.
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A与B合同.
§Hale Waihona Puke .1 二次型及其矩阵表示§5.1 二次型及其矩阵表示
注意 1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即A A. 2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B.
（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn 下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)

x2 xn
n
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j L xn anj x j
j 1
j 1
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
aij xi x j
i 1
j 1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
注意
1. 为了计算和讨论的方便,式①中 xi x j i j 的系数
写成 2aij .
2. 式① 也可写成
n
f ( x1 , x2 , , xn )
aii
x
2 i

2
aij xi x j .
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
令
X


x2 M
,Y
xn


y2 M
,
C
yn


c21 L cn1
c22 ... LL cn2 ...
c2n L cnn

则③可表示为
X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习1 写出矩阵表示
1. 实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
2. 实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x22 3x2 x3 7 x32

x2 c11 y1 LLLL
c12 y2 L LLLL
L
c1n L
yn
xn cn1 y1 cn2 y2 L cnn yn
只含平方项的多项式
(标准形)
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型
1、定义 设P为数域， aij P,i, j 1,2,L ,n,
2.
(
x1
,
x2
,
x3
)

2 7
4 8
6 5


x2 x3

n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x

1 n
n i 1
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 ,L , xn; y1, y2 ,L , yn 是两组文字,
c1n yn LL cnn yn
，或X=CY，
|C|
≠0.
矩阵的合同：B CAC, C Pnn可逆.
§5.1 二次型及其矩阵表示
基本结论
1、二次型经过线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A 与 B合同，即存在可逆阵 C Pnn，使 B CAC.
cij P,i, j 1,2,...n
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
关系式

x2 xn

L
c11 y1 LLL cn1 y1
c12 y2 L LLLL cn2 y2 L

L
c1n yn L cnn yn
③
称为由 x1, x2 ,L , xn到y1, y2 ,L , yn 的一个线性替换;
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
§5.1 二次型及其矩阵表示
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation).
§5.1 二次型及其矩阵表示
y
.
y
x

0
x
例1
x x cos y sin
变换

y

x sin

y cos
是非退化的.
§5.1 二次型及其矩阵表示
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
f ax2 cy2
(标准方程)
§5.1 二次型及其矩阵表示
二次齐次多项式
代数观点下
f ( x1, x2 ,L , xn )
作适当的非退 化线性替换
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn

aij xi x j .
②
i1 j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
a11 a12 ... a1n
令
A


a21 L
a22 ... a2n L L L
an1 an2 ... ann
n个文字 x1, x2 ,L , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn
①
L L L L
ann xn2
a2n L ann


x2 M xn
n

a1 j x j

( x1,
x2 ,...,

xn )

j1 n
a2 j x j
j1
M

n

anj x j
j1

§5.1 二次型及其矩阵表示
x1
令
X

§5.1 二次型及其矩阵表示
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
X CY
f
( x1, x2 ,..., xn )

X AX
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
Y (CAC )Y 令——B————C——AC Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
例2 证明：矩阵A与B合同，其中
1

i1

A



2
O

,
n
B



i 2
O
,
in
i1, i2 ,L , in是1,2,L ,n的 一个排列.
§5.1 二次型及其矩阵表示
四、小结
基本概念
nn
n元二次型：f ( x1, x2,L , xn )
( A P nn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 ,L , xn ) 的矩阵 （matrix）.
§5.1 二次型及其矩阵表示
（2）
a11 a12 ... a1n x1
X AX

( x1,
x2 ,...,
xn
)

a21 L
an1
a22 L an2
... L ...
3. 复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1x2 3x1x4 5x22 (3 i)x2 x3
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习2 写出下列二次型的矩阵
1. 4 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
1 3 5 x1
i 1
1i jn
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
（1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有