u |x0 0, 或： u(a,t) 0 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u
TY
0
x xa
u 0 x xa
ux (a,t) 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
STY
u x
xa

k u
xa
或

u x
解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。
在研究物理现象时，对定解条件是通过测量得到的， 而测量不免有误差。
如果定解条件的细小误差便导致了解的极大变化，那 么所考察的定解问题，实际上就不能正确的反映所想要 确定的物理现象。这样，在数学上就不能保证所获得的 解是实际所需要的解的近似。
1、定义 (续)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则

d (x)f (x)dx f (0) -
f(x)称为检验函数.
d -函数的图示:
d (x)
1 x
0
d (x,y)
y
1
x
0
四、 d -函数
则 lim n
fn
( x)

d
( x)
单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度,
fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx),
单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等.
等等.
物理系统已无法分
辨更窄的函数
§1-2 脉冲函数 d -Function
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量
在边界上的数值，即
三 类
u f (t) S
边
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
在数学上对解的存在性进行证明的必要性
从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。
对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
解的唯一性：是研究在已给的定解条件下，方程的解是否 只有一个。
从物理意义上来看，这又是一个不成问题的问题，因为在客 观上，决不会在相同的条件，存在两种不同的物理过。但是， 如果所给的定解条件不够，那就不足以保证解的唯一性。
界
界外法线方向上方向导数的数值，即
条 件
u f (t)
n S
第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其 外法向导数的线性组合在边界的数值，即
(u u ) f (t)
n S
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
S
kH1
k
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件

u |t0 (x)
u t
t0

(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
u

xa

0
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s f S——给定区域v 的边界
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u 0
n s
牛顿冷却定律： w k u H (u T )
s
n
s
H热传递系数，T周围介质的温度
u n
u
S
uT1
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
fi f
ui u
Lui 0 ui u
Lu f Lu 0
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
2u / 0
泊松方程
2u 0
拉普拉斯方程
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。
定解问题的适定性（判断定解问题是否提的正确）
一个偏微分方程的定解问题，如果它对所考察的物理现象的 描述基本上是正确的，那么，它的解通常应该是存在的，唯 一确定的，而且是稳定的。
解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。
3、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意 常数的解。
特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
4、求解方法
分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法
四、 脉冲函数 d -Function
1、定义
定义1.

d

( x)

0, ,
x 0 x0



d (x)dx 1
-
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满足:
lnim fn (x) 0, x 0


的密度,
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例6、静电势
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程：

S
E
dSˆ

1
0

V
dV

E
0
u E
对方程进行化简：

E (u) u 2u / 0