北京七年级数学下册《等比等差数列》教学案北师大版课 题（课型） 等比等差数列学生目前情况（知识遗漏点）：已掌握该部分知识，仍须提高教 学 目 标或考 点 分 析：1.能运用等比数列的概念及其通项公式解决问题；理解等比中项的意义．2.知道等比数列前n 项和公式的推导过程，理解前n 项和公式的含义，并会用公式进行有关计算．3.会运用等比数列前n 项和公式解决有关问题，通过对有关问题的研究讨论，培养分析问题，解决问题的能力．初步了解通过数列递推公式求通项的方法；初步了解通过数列前n 项和n S 求通项n a 以及相关内容的方法．教学重难点： 等比数列的概念及通项公式的应用；等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法；等差、等比数列的概念和公式；通过递推公式或n S 求n a ；教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练等差数列等比数列等差数列等比数列 定义d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；md a a n m n +=- q a a n n 1-=；m n m n q a a -=通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（0,,* k n N k n ∈）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈⋅=⋅定义常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+ 常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+ 通项公式n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn +1a -dk n k n n q a q a a --==11求和公式n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na s n n n中项公式A=2b a + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。

推广：m n m n n a a a +-⨯=2性质1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。

2若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。

若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。

n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。

4)(11n m nm a a n a a d nm n ≠--=--=11a a q n n =- ， mn mn a a q =- )(n m ≠ 5例1．若,,a G b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，（1）求45和80的等比中项； （2）已知两个数9k +和6k -的等比中项是2k ，求k 。

例2．（1）等比数列{}n a 中，487,63a a ==，则6a = 。

（2）已知等比数列{}n a 中，4738512,124a a a a ∙=-+=，公比q Z ∈，则10a = 。

（3）在等比数列{}n a 中，61035480,41,5n a a a a a a a >∙+∙=∙=，则48a a +=例3．在等比数列{}n a 中，110a >，公比()0,1q ∈，且153528225a a a a a a ++=，又3a 与5a 的等比中项为2，①求n a ；②设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 和为n S ，当1212n S S S n+++ 最大时，求n 的值。

例4．三个数成等比数列，其和为14，积是64，求此等比数列的通项公式。

等比数列常用几种形式（应用题）：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+. ⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m m mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a例1 某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‟，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每月应还贷多少元？例2某地现有耕地面积10000公顷，计划10年后粮食单产比现在提高22%，人均粮食占有量比现在提高10%。

如果人口的年增长率为1%，那么平均每年最多只能减少耕地面积多少公顷（精确到1公顷）？(注：粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量)小知识点：1.等比数列的前n 项和的性质：设{a n }是等比数列，公比是q ，则⑴m n n m n S q S S +=+；⑵若n S ，n n 2S S -，n 2n 3S S -均不为0，则它们也成等比数列； ⑶若数列的项数是偶数，有奇偶qS S =。

2.差比数列的前n 项的和的求法——“错位相减”设{a n }公差为d(d≠0) 的等差数列， {b n }是公比是q(q ≠1)的等比数列，则n n 332211n b a b a b a b a S ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=。

1n n 433221n b a b a b a b a qS +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= 1n n n 3211n b a b d b d b d b a S )q 1(+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=- ，右边中间部分构成一个等比数列，两边除以（1－q ）便得到结论。

例题例3．（1）在G.P {}n a 中，n S 表示前n 项和，且51012,36S S ==，求15S 的值。

（2）已知前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后的3n 项的和。

例4．在等比数列{}n a 中，已知12166,128,126n n n a a a a S -+===，求,n q 。

综合练习：1.设数列｜a n ｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 。

2.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =_________。

3.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。

4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,n n S a b =+ 且13a =。

（1）求,a b 的值及数列{}n a 的通项公式。

（2）设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n T 。

5.设数列的前n 项和为n S ，已知*11,3,N n S a a a n n n ∈+==+（1）设n n S b 31-=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若*1,N n a a n n ∈≥+，求a 的取值范围7.已知数列{}n a 是首项11>a ，公比q>0的等比数列，设n n a b 2log =()*N n ∈且6531=++b b b ,0531=b b b 。

⑴求数列{}n a 的通项公式,⑵设数列{}n b 的前项和为n S ，求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑶设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和为n T ,当n T 取最大值时,求n 的值.错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例一、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………① 解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例二、求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序） 又由m n n m n C C -=可得 nnn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(……..② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴n n n S 2)1(⋅+=例三、求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …① 将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例四、求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 例五、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n例六、 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S由n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴原等式成立 合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例七、在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例八、 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个 （找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+ 学生对本次课的评定：○特别满意 ○满意 ○一般 ○差学生签字：教师评定：1、学生上次作业评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差2、学生本次上课情况评价：○好 ○较好 ○一般 ○差教师签字：。