第2章 n 级行列式的计算方法2.1 定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。

由定义可知，n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a -若每一项n 个元素的乘积中有零因子，则该项的值为零。

若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。

例1 计算n 级行列式0000102010000000D n n =-2.2 利用行列式的性质例2 计算n 级行列式111212122212n nn n n nx y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------=---.解 当1n =时，11D x y =-； 当2n =时，1212()()D x x y y =--；当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,i n =行列式的值不变，得11121212121111n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------==---综上可得111212(1)()()(2)0(3)x y n D x x y y n n -=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。

故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。

充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。

例4 计算n 级行列式n xb b b bx b b D bb x b bbbx =解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，，n 列加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)x n b b b b x n bx b b D x n bb x bx n bbbx+-+-=+-+-[]11(1)11b bb x bbx n b b xbb bx=+-[]1000(1)0000bbb x b x n b x bx b-=+---1[(1)]()n x n b x b -=+--例5 计算n 级行列式121121121123n n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x---=解 将其他各列全部加到第一列，可得11211121112111231n i n i n in i n in i n ii x a a a a x a x a a x a a xa x a a a x--=--=--=-=++=++∑∑∑∑1212112112311()11n n n i n i a a a x a a x a a x a a a x----==+∑121112121213211000()000n n i i n a a a x a x a a a x a a a a a x a --=--=+-----∑1111()()n n i i i i x a x a --===+-∑∏2.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。

例6 计算n 级行列式112131n a a a a a a a a D aaa aaaaa n++=++.解 利用加边法.110110210n n a a a a a a aa aD D aaa n+++==+11100112110a a a n--=-将n D 的第二列乘1，第三列乘2，…，第1n +列乘n 并都加到第一列，可得1101001002100nk n ka aa a D n=+=∑=(1)1[1]2!n n a n ++ 2.5 降级法按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。

此方法适用于某一行（列）含有较多零元素的行列式，应用行列式的展开定理按此行（列）展开。

例7 计算n 级行列式12342345134562432131231n n D n n =-. 解 观察行列式的每行之和为定值（1+2+…+n ），因此将各列加到第一列后，则12341345114562(1)13213211231n n n n D n +=-12340111101111(1)01111201111n n n n n-+=- 由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。

即第二行减第一行，……第n 行减第1n -行得11111111(1)21111nn n n n --+=-(1)(2)2111111(1)(1)2111n n nn n nn----+=-- (1)(2)22(1)(1)(1)()2n n n n n n ---+=---(1)12(1)2n n nn n n --+=-2.6 归纳法通过计算一些初始行列式123,,D D D 等，找出结果与级数之间的关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。

例8 计算n 级行列式cos 10...0012cos 1 (000)12cos ...00..................000...2cos 10...12cos n D θθθθθ=.证明 由于122cos ;cos 12cos 1cos 2.12cos D D θθθθθ===-=3cos 102cos 11012cos 1cos 12cos 12cos 012cos D θθθθθθθ==-2cos (4cos 1)2cos cos3θθθθ=--=所以当1,2,3n =时，结论成立。

猜想：cos .n D n θ=以下用数学归纳法证明 当1,2,3n =时已成立。

假设1,n k n k =-=时的行列式猜想成立，即1cos(1),cos k k D k D k θθ-=-=。

下证明1n k =+时行列式结论也成立。

现将按最后一行展开，得112cos k k k D D D θ+-=-由归纳假设，12cos cos cos(1)k D k k θθθ+=--2cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos(1)k k k k k k θθθθθθθθθθθ=--=-=+所以对一切自然数n 结论成立。

综上所述cos .n D n θ=2.7 递推法利用行列式的性质，按行（列）展开行列式，使行列式降级，比较原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值 。

例9 计算n 级行列式1231...............n n na y y y y x a y y y x x a yyD x x x a y xxxxa -=.解 由行列式性质，按最后一列展开得1231...0...0......0...n n n a y y y y x a y y y x x a yy D x x x a y xxxxy a y-+++=++-1231...............n a y y y y x a y y y x x a yy x x x a y xxxxy -=1231...0...0......0...n n a y y y x a y y x x a yx x x a xxxxa y-+-12311...00...000...()000...0...n n n a x y x y x y x a x y x y x a x y xa y D a x xxxxy-----------=+--111()()n n n i i a y D y a y --==-+-∏行列式转置同理有 n D 111()()n n n i i a x D x a y --==-+-∏若x y =，解得：122()()n nn n i j i i j iD a a y y a y ==≠=-+-∑∏∏若x y ≠，解得：111[()()]n nn i i i i D x a y y a x x y ===----∏∏ 2.8 拆分法把行列式的某一行（列）的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。

例10 计算n 级行列式...........................n x a a a bx a a D bbxab b b x=. 解 将n D 第一行元素拆为...........................n x a a a b x a a D bbxab b b x=...........................a a a ab x a a bb x a bbbx=00...0........................x a b x a a b bx abb b x -+11()()n n a x b x a D --=-+- （1） 再将n D 第一列元素拆为()...0...0..................0...n x b b a a a bx a a D b bx abb b x -++=++...0...0 0...x b a a ax a a bx a b b x -=...........................b a a a b x a a b b x a b b bx+11()()n n x b D b x a --=-+- （2）.联立上述（1），（2）两递推公式1111()()()()n n n n nn D a x b x a D D x b D b x a ----⎧=-+-⎪⎨=-+-⎪⎩. 当a b ≠时()()n nn b x a a x b D b a---=-当ab =时[]1(1)()n n D x n a x a -=+--.第3章 几类特殊行列式的计算方法3.1 一类常见特殊行列式的值1.奇级数反对称行列式的值为零，即12112212000n n nna a a a a a -=-- （n 为奇数）2.上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即1112122200n n nna a a a a a 11212212000n n nna a a a a a=11220000nna a a =1122nn a a a =3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即111,11212,1100n n n n a a a a a a --12,121,1000n n nn n n nna a a a a a --=.1(1)2,1212,1110000(1)n n n n nn n n a a a a a a ---==-4.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即11111111****000m m mm n n nna a a ab b b b 111111110000****m m mm n n nna a a ab b b b =11111111m n m mm n nna ab b a a b b =11111111****000m m mm n n nna a a ab b b b 111111110000****m m mm n n nna a a ab b b b =11111111(1)m nmnm mm n nna ab b a a b b =-3.2 箭形行列式对于形如的所谓箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列式求值。