包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。

解答问题关键在过程，能够显示出你已经掌握了书上的内容，知道了解题方法。

这次考试题目的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后面有五个大题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。

习题一1． 略2． y y x f -=),(，梯形公式：n n n n n n y hh y y y h y y )121(),(2111+-+=+-=+++，所以0122)1(01])121[()121()121(y h h y h h y h h y hhn h h n n n +--+--+-+=+-+==+-+= ，当0→h 时，x n e y -→。

同理可以证明预报-校正法收敛到微分方程的解.3． 局部截断误差的推导同欧拉公式;整体截断误差:⎰++++++-++≤1),())(,(11111n nx x n n n n n n n dx y x f x y x f R εε11)(++-++≤n n n y x y Lh R ε，这里R R n ≤ 而111)(+++-=n n n y x y ε，所以 R Lh n n +=-+εε1)1(，不妨设1<Lh /2，得到：()()]11111[1111101---++-+-+-≤≤-+-=n n n n Lh Lh Lh R Lh Lh R Lh εεε ]1[2)(02)(00-+≤--x X L x X L eLhR eε4． 中点公式的局部截断误差： dx x y x f hx y h x f x y x f yx y n n x x n n n n n n))](,(2)(,2())(,([)(11*1⎰+++-=-++dx x y x f hx y h x f h x y h x f h x y x y dxx y x f hx y h x f hx y h x f h x y h x f x y x f n n n n x x n n n n n n n x x n n n n n nn n))](,(2)(,2())2(,2([)]2()([))](,(2)(,2())2(,2())2(,2())(,([11++-++++'-'=++-+++++-=⎰⎰++所以上式为+--+''=⎰++dx hx x x y e n nx x n n n )2()(11θdx x y x f h x y h x f h x y h x f n n n n x x n n n n))](,(2)(,2())2(,2([1++-++⎰+ 3218)(LMh h x y Lh e n n ≤+''≤+ς中点公式的整体截断误差：dx y x f hy h x f x y x f y x y y x y n n x x n n n n n n n n)],(2,2())(,([)()(111⎰+++-+-=-++dxy x f hy h x f x y x f h x y h x f x y x f hx y h x f x y x f y x y n n n n n n n n x x n n n n n n n n))],(2,2()))(,(2)(,2()))(,(2)(,2())(,([)(1++-+++++-+-=⎰+因而n n n L hLh R εεε)21(1+++≤+，R L h Lh n n +++≤-122)21(εε≤≤ ])21()21(1[2)21(1222222022-+++++++--+++n nL h Lh L h Lh Lh Lh RL h Lh ε )1(00-+≤--x X L x X L e LhR eε 5． 略 6． 略 7． 略8． （1）欧拉法：2.0≤h ；四阶Runge-Kutta 方法：278.0≤h （2）欧拉法：354≤h ；四阶Runge-Kutta 方法：3556.5≤h（3）欧拉法：1≤h ；四阶Runge-Kutta 方法：278.0≤h 9． 略 10． 略习题21． 略 2． 略 3． 略4． 差分格式写成矩阵形式为：n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆--∆--∆--∆-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ矩阵的特征值为：)cos(221Mj r r t j πααβλ+-∆-=，要使格式稳定，则特征值须满足t c j ∆+≤1λ，即21≤r α5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2h t O +∆。

古典隐式差分格式写成矩阵形式为：n n M nM n nn M n M n n e u u u u u u u u t r r r t r r r t r r r tr +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆++--∆++--∆++--∆++--+-+-++122112211111121212121βαααβαααβαααβα特征值为： 1))cos(221(--+∆++=Mj r r t j πααβλ，即：)(1))2(cos 41(12t o Mj r t j ∆+≤+∆++=-παβλ，所以无条件稳定。

6． 由Von-Neumann 方法，令mhi n l n m e u βς=，代入差分格式得到增长因子为：)2(sin 41),(2hr i t G βωβ-=∆，所以1)]2(sin 4[1),(22≥+=∆hr t G βωβ，恒不稳定。

7． nm n m u v =+1，则原三层格式等价于：⎝⎛=-+=+--+++-+++n m n m n m n m n m n m n m n m u v v u u u u r u 111111)21()2()1(θθθ，令mh i n l n l n m nm e v u βης⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛， 可以得到格式的增长矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++012sin 412sin 412122h r hr βθθβθθ， 特征值为)2sin 41(22sin 1612122hr hr βθβθθλ++-±+=±2sin θ1+2+（1+8r ）21+2θ〈0时，格式恒不稳定。

当21-≥θ时，格式无条件稳定。

8． 令 mhi n l n l n m n m e v u βης⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++1111，则可以得到差分格式的增长矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=∆222122111),(c c c c c t G β，特征值为：22121c c i c +±-=±λ，2sin 22h ar c β=，所以1=±λ，格式无条件稳定。

9. （1）由V on-Neumann 方法，221sin sin h h h k Gβββ12（，）=1+c -4r （+）22，可以得到格式的稳定条件为：41≤r ； （2）22sinsin h h k βββ+2121（，h ）=1-c 4r （+）22G，无条件稳定。

10. 解：消去12n lmU*+便可得到1n lmU+与n lmU的关系为k δ2x r （1--c ）22k δ2y r （1--c ）221n lmU += δ2y r （1+）2δ2x r （1+）2nlm U 由Von-Meuman 方法可以得到增长因子G β（，h ）=2222sinsin sin sin 22h h h h k k c c ββββ-1212（1-2r ）（1-2r ）22（1+2r ）（1+2r -）22显然无条件稳定习题31. （1） 第一个差分方程的截断误差为 2O （）h（2） 第二个差分方程的截断误差为 2O （）h2. 边界条件离散为0nmU=2ln )h 2（1+m JmU=ln 22（4+m h ） 0l U=2ln （lh+1）=2ln （lh+1），JU=2ln 1⎡⎤+⎣⎦（lh+1） 然后将未知点按自然顺序排列 U =TU U U U 11211222（）可以写出求解的线性代数方程组 用直接方法或迭代方法可求解.3. 求解的关键是 （1）边界条件的离散应与差分方程相适应; （2）在边界的四个角点处差分方程的建立;（3）未知量按自然顺序排列，写出线性方程组 4. 解：（1）将节点以自动顺序排列U=121......TT T T q U U U -（） 其中2T i iU=1i p-1，i （....）U U U 则Dirichlet 问题的差分格式可以写成方程组 AU=b其中A ，B 即为题中已给形式，b 为由边界条件离散化后已确定的已知向量 （2）考虑AU=AU λ即121123211211............A A i i i A iq q A q B B B B U U U U U U U U U U U U U U λλλλ-+---+=⎧⎪++=⎪⎪⎪⎨++=⎪⎪⎪+=⎪⎩因B 为对称阵，故存在正交阵Q 使TB BQ diag Qλλλ=Λ=B B B12p-1（......）用TQ左乘以上各式12111121..............T T TA TA i i i i T A q q qB TT T T T Q Q Q U U U Q U BU U U Q Q Q Q U U U Q Q λλλ-+---⎧+=⎪⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩记rV =TrQ U则⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩12111211............B A B i i i A i B q q A q V V V VV V V VV V λλλ-+---Λ+=+Λ+=+Λ= 选取以上方程组中的每一个小方程组的第j 个方程得到121111............Bj j j A j Bj j j i j A j i B j j j A j q V V V V V V V V V V λλλλλλ-⎧+=⎪⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，，，i-，，i+，，q-2，q-1， j=1，2…..p-1这是一齐次三对角线性方程组，若要使其有非零解，则系数行列式值为零，即1111BjAB jABjAλλλλλλ---=0根据三对角阵特征值公式有2cosA Blj l q πλλ=+ l =1，2…q-1 而42cosB jj pπλ=-+ 于是证得42cos cos Alm l m p qππλ=-+（+） l =1，2…q-1 m=1，2….p-1 事实上由此也可以求出A 的特征向量,而AU=b 的求解与此类似;（3）求解AU=b 的Jacobi 迭代 1G D -=（L+R ） 因A=D-L-R 所以1G A D -=-1（D-A ）=I-D设X 为A 的对应于G lmλ的特征向量，于是GX=Almλ-11（I-A ）X=（1+）X 4D这说明X 也是G 的特征向量，对应的特征值为1142cos cos 41cos cos 2Glm l m p q l m p qππππλ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦=（+）（+） l =1，2…..p-1 m=1，2…….q-1 因在()0π，上，cos θ为减函数，于是|coscos Glm p qππρλ=1（G ）=max|（+）2习题411．特征线为：23x dxdy=，求解得到曲线为：C x y +=3，过点)0,(R x 的特征线为：33R x x y -=。