1 m 2 ( a x ) ， j 1,2, ij j m 1 i 1
,n
代码：
y=zscore(a) %对矩阵a标准化
表 14.3
j
表 1 数据经标准化的属性值表 科研经费 逾期毕业 x3 率 x4 -0.1946 0.0916 0.3777 1.2362 -1.5109 0.2274 0.6537 1.1747 -0.9095 -1.1463
表14.4 表11.3的数据经规范化后的属性值
j
i 1 2 3 4 5
人均专著
生师比
科研经费
0.0638 0.1275 0.2550 0.5738 0.7651
0.597 0.597 0.4975 0.199 0
0.3449 0.4139 0.4829 0.6898 0.0276
逾期毕业 率 0.4546 0.5417 0.6481 0.2225 0.1741
i 1 2 3 4 5
第三步，求正理想解、负理想解。
* 正理想解 C * [c1 , * , cn ]
max cij , i * cj min c , i ij
j为效益型属性, j为成本型属性,
0 , cn ]
j 1,
, n （14.3）
0 负理想解 C 0 [c1 ,
min cij , i c0 j max cij , i
j为效益型属性, j为成本型属性,
j 1,
, n （14.4）
Cstar=max(c); % 正理想解（对各列关于各行取最大值） Cstar(4)=min(c(:,4)) % 成本型取最小值 C0=min(c); % 负理想解 C0(4)=max(c(:,4)) % 成本型取最大值
n
, m.
（14.5）备选方案 d iFra bibliotek到负理想解的距离为
si0
0 2 ( c c ij j ) ， i 1, j 1
n
, m.
（14.6）
（5）计算各方案的排队指标值（即综合评价指数） （14.7） f i* si0 / ( si0 si* )， i 1,2, , m. （6）按 f i* 由大到小排列方案的优劣次序。
j 1,
, n （14.3）
min cij , j为效益型属性, i 0 cj max cij , j为成本型属性, i
j 1,
, n （14.4）
（4）计算各方案到正理想解与负理想解的距离 备选方案 d i 到正理想解的距离为
si*
* 2 ( c c ij j ) ， i 1, j 1
0 ' ' 0 1 (a 0 a ) / ( a a ), 若 a a a j ij j j j ij j, 0 * 1, 若 a a a j ij j, （14.12） bij * " * * " 1 ( a a ) / ( a a ), 若 a a a ij j j j j ij j, 其它. 0, 注： bij 与 a ij 之间的函数图形一般为梯形。
14.1.2 TOPSIS法的算法步骤 （1）数据预处理，得到规范化决策矩阵 设多属性决策问题的决策矩阵 A (aij )mn ，规范化 决策矩阵 B ( bij )mn ，其中
bij aij
2 a ij ， i 1, i 1 m
, m， j 1,
, n （14.1）
生师 科研经费 逾期毕业率 比 （万元/年） （%） 5 5000 4.7 6 6000 5.6 7 7000 6.7 10 10000 2.3 2 400 1.8
人均专著 等4个属性 (n)
设多属性决策方案集为 D {d1 , d 2 , , d m }，衡量方 案优劣的指标 （属性） 变量为 x1 , , xn ， 这时方案集 D 中 的每个方案 d i（ i 1, , m ）的 n个属性值构成的向量是 [ai 1 , , ain ]，它作为 n 维空间中的一个点，能唯一地表 征方案 d i 。所有 d i 排成一列就是决策矩阵：
数学建模算法与应用
第14章 综合评价与决策方法
张敬信
基础科学学院
• 数学模型按功能大致分三种： 评价、优化、预测 • （综合）评价模型的例子 1. 研究生院、城市发展力评估； 2. 医疗、环境、企业效益等评价； 3. 人事考核，供应商选取； 4.（14美赛B题）评选五佳大学教练； ……
综合评价是根据一个复杂系统同时受到多种因素 影响的特点，在综合考察多个有关因素时，通过处理 各个因素的指标数据计算综合指标，对复杂系统进行 总的评价。
, m ，j 1,
, n . （14.13）
与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上 无法分辨属性值的优劣。它的最大特点是，规范化后， 各方案的同一属性值的平方和为 1，因此常用于计算各 方案与某种虚拟方案（如理想点或负理想点）的欧氏距 离的场合。
for j=1:n b(:,j)=a(:,j)/norm(a(:,j)); %向量规范化 end
i 1 2 3 4 5
人均专著 生师比 x 2 x1 -0.9741 -0.7623 -0.3388 0.7200 1.3553 -0.3430 0 0.3430 1.3720 -1.3720
第二步， 设权向量为 w [0.2,0.3,0.4,0.1]， 得加权的 向量规范化属性矩阵。代码：
w=[0.2 0.3 0.4 0.1]; c=b.*repmat(w,m,1); % 1× n % 加权
（2）构成加权规范阵 C ( cij )mn 设由决策人给定各属性的权重向量为 w [ w1 , w2 , , wn ]T ， 则
cij w j bij ， i 1,
, m， j 1,
, n （14.2）
（3）确定正理想解 C * 和负理想解C 0 0 C 设正理想解 C * 的第 j 个属性值为 c * ， 负理想解 第j j 个属性值为 c 0 j ，则 正理想解 max cij , j为效益型属性, i c* j min cij , j为成本型属性, i 负理想解
常用的属性规范化方法： （1）线性变换 原决策矩阵为 A (aij )mn ， 变换后的决策矩阵记为
min B ( bij )mn 。设 a max j 是决策矩阵第 列中的最大值， a j j
是决策矩阵第 j 列中的最小值。 ① 若 x j 为效益型属性，则 . bij aij / a max j （14.8） 变换后，最差属性值不一定为 0，最好属性值为 1。 ② 若 x j 为成本型属性，则
例 14.1 研究生院评估。 为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研 究生院的教学质量，选取 5 所研究生院，收集有关数 据资料进行了试评估，表 14.1 是所给出的部分数据。
表14.1 研究生院试评估的部分数据
j
i
1 2 3 4 5
人均专著 （本/人） 0.1 0.2 0.4 0.9 1.2
表 14.5 人均专著 j x1 0.0128 0.0255 0.0510 0.1148 0.1530
归范化后的数据做加权处理 生师比 x 2 0.1791 0.1791 0.1493 0.0597 0 科研经费 x3 0.1380 0.1656 0.1931 0.2759 0.0110 逾期毕业 率 x4 0.0455 0.0542 0.0648 0.0222 0.0174
bij 1 aij / a max j
（14.9）
变换后，最好属性值不一定为 1，最差属性值为 0。
（2）标准 0－1 变换 为了使属性变换后的最好值为 1 且最差值为 0， 可以进行标准 0－1 变换。对效益型属性 x j ，令
bij
对成本型属性 x j ，令
aij a min j a
决策矩阵 （表中的数据）
第一步，数据预处理——又称属性值的规范化。 属性值一般分为： 效益型（值越大越好） ； 成本型（值越小越好） ； 区间型（值在某个区间最好） 。
进行属性值规范化的作用： （1）不同指标的属性值不能直接从数值大小判断方 案的优劣，需要预处理数据使得属性数值的大小能反 映方案的优劣（越大越优） 。 （2）非量纲化：不同的属性值具有不同的单位（量 纲） ，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响。 （3）归一化：不同指标的属性值的数值大小差别很 大，进行评价决策前需要把属性值表中的数值归一化， 即把表中数值均变换到[0，1]区间上。
max j
a
min j
，
（14.10）
bij
a max aij j a
max j
a
min j
.
（14.11）
（3）区间型属性的变换 有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。 * ' 设给定的最优属性区间为[a 0 ， , a ] a j j j 为无法容忍 下限， a " j 为无法容忍上限，则
22
（5）标准化处理* 在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一 样的。为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有 同等的表现力， 数据分析中常对数据进行标准化处理， 即 aij a j bij ， i 1,2, , m，j 1,2, , n ， （14.14） sj 其中，
1 m a j aij ， s j m i 1
第 i 行数据，n维向量
研究生院 1,2,3,4,5 (m)
0.1 5 5000 4.7 d1 0.2 6 6000 5.6 A ( aij ) mn = 0.4 7 7000 6.7 d 0.9 10 10000 2.3 m 1.2 2 400 1.8