概率统计
(2) 在研究某地区中学生的营养状况时， 若关心的数量指标是身高和 体重，现用 X 和 Y 分别表示身高 和体重，则此总体可用二维随机 变量 ( X, Y ) 或其联合分布函数 F( x, y ) 来表示。
注 ▲ 在数理统计中，总体这个概念的要旨是：
总体就是一个概率分布. ▲ 总体依其包含的个体总数分为有限总体(个体
这两个问题都是数理统计所要研究的问题。在本章中 将要介绍的则是第二个问题 — 这是统计推断问题。
概率统计
总之： ▲ 在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法。
因为随机抽样的结果带有随机性， 不能不把它当作随机现象来处理 。 ▲ 概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率 论的重要应用。但它们是并列的两个学科，并 无从属关系 。
总体
…
概率统计
注 ▲ 研究对象的某项数量指标 X 是一个随机变量 因此，X 所有可能取的值的分布为总体 X 的 分布，记为F( x )，称其为总体 X 的分布函数。 这是由于每个个体的出现是随机的，所以相 应的数量指标的出现也带有随机性。从而可 以把这种数量指标看作一个随机变量，因此 随机变量的分布就是该数量指标在总体中的 分布。
例如 在几何学中要证明“等腰三角形底角相等”， 则只须从“等腰”这个前提出发，运用几何 公理，逐步推出这个结论. 而一个习惯于统计思想的人，就可能会应用 如下的方法：
做很多大小形状不一的等腰三角形，实际测量 其底角，看其差距如何，然后根据所得资料判 断可否作出“底角相等”的结论。 这样的方法 即为归纳式的方法.
例如:
从某批国产轿车中抽 5 辆进行耗油量试验。 这一试验过程即为 “抽样”；
这 5 辆轿车为一个样本；其样本容量为 5
概率统计
定义1.
从总体中抽取一部分个体进行观察，被 抽出的部分个体称为总体的一个样本。
注 ▲ 从总体中抽取一个个体就是对总体 X 进行一 次观察( 试验 )并记录其结果。若在相同的条 件下对总体 X 进行 n 次重复的独立的观察， 其观察的结果记为 X1, X2 ,L Xn，则可认为
▲ 若 X1, X2 ,L Xn 为总体 X 的一个样本，X 的分布 函数为 F( x )，概率密度为 f ( x )，则 ：
X1, X2 ,L Xn 联合分布函数为：
n
F ( x1,L xn ) F ( xi )
i 1
X1, X2,
Xn
联合概率密度为：
n
f ( x1,L xn ) f ( xi )
分析 所获得的有限的资料; 2. 对所考察的问题尽可能地作出精确而可靠的
推断和预测，直至为采取一定的决策和行动 提供依据和建议。
概率统计
数理统计的特征
--- 具有“部分推断整体”的特征 .
▲ 在数理统计中，不是对所研究的对象全体 (称为 总体) 进行观察，而是抽取其中的部分 (称为样本) 进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对 总体进行推断。
从历史的典籍中，人们不难发现许多关于 钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，这说明 人们很早就开始了统计的工作 。 但是当时的 统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而 没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据 范围之外的推断。
概率统计
到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学 和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这 门学科。
概率统计
第六章 样本及抽样分布
第一节 随机样本
在概率论中所研究和讨论的随机变量，它的分布 都是已知的，在这前提下去进一步的研究它的性质、 特点和规律性。
在数理统计中所研究和讨论的随机变量，它的分 布是未知的或不完全知道的。
于是就必须通过对所研究和讨论的随机变量进行 重复独立的观察和试验得到所需的观察值(数据) ， 对这些数据进行分析后才能对其分布作出种种判断。
第六章----第八章知识结构图
数理统计
抽样分布
统计推断
常用的 统计量
四个重 要分布
参数估计
正态总体
假设检验
正态总体的 样本均值与 方差的分布 (重要统计量
的分布)
概率统计
点估计
区间估计
矩 极大 均值 方差
估 似然 的区 的区
计 估计 间估 间估
法法
计
计
均值的 检验
方差的 检验
单个 总体
两个 总体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数理统计的客观背景
i 1
概率统计
▲ 数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于 应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、 整理和分析。 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因 而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次 观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚 地呈现出来。但又由于在客观上只允许对随机 现象进行有限次数的观察试验，也就是说， 所 获得的只是局部观察资料。 由于资料是基于有限次数的观察试验，推断是 基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象 的全部信息， 因而由此获得的结论必然包含 不肯定性。
同时随着计算机的诞生与发展，为数据处 理提供了强有力的技术支持，这就导致了数理 统计与计算机结合的必然的发展趋势。
目前国内外著名的统计软件包： SAS，SPSS， STAT 等，都提供了快速、简便地进行数据处理 和分析的方法与工具。
概率统计
数理统计研究的对象 --- 带有随机性的数据
数理统计的任务 1. 研究怎样以有效的方式收集、 整理和
得到这些数据最常用的方法是----随机抽样法
概率统计
一. 总体和个体
定义
将研究对象的某项数量指标的值的全体
称为总体(母体)；将总体中的每个元素
称为个体.
例1.(1) 当研究某地区中职工收入平均水平时，这地 区所有职工的月收入组成了总体；而每个职
工月收入就是个体。
(2) 研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体 就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无 限的)。但当有限总体它所含的个体的个
数很大时也可视其为无限总体。
概率统计
二. 抽样和样本
抽样
为推断总体分布及各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以
获得有关总体的信息，这一抽取过程称为
“抽样”， 所抽取的部分个体称为 样本， 样本中所包含的个体数目称为 样本容量。
▲ 总体 可以用一个随机变量 及其分布来描述
概率统计
例2. (1) 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就
是寿命，则此总体就可以用一维随机变量 X
表示，或用其分布函数 F( x )表示。
总体
寿命 X 可用一概
F(x)
率分布来刻划
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量或用 其分布函数的记号表示总体， 如：总体 X 或 总体 F( x )。
X1 , X2 ,L Xn 相互独立的并与总体 X具有相
同的分布。一般称其为来自总体 X 的一个 简单随机样本
▲ 对于有限总体和无限总体都可以通过 不放回抽样的方式得到简单随机样本。
概率统计
三. 随机样本
定义2
设 X 是具有分布函数 F 的随机变量，若
X1, X2 Xn 是具有同一分布函数 F 的、 相互独立的随机变量，则 称 X1, X2 Xn 为总体 X ( 或从总体 F 或从分布函数 F ) 得到的容量为 n 的简单随机样本简称样本
概率统计
▲ 由于是从一部分样本观察值去推断该全体对象 （总体）情况，即，由部分推断全体. 所以在数理统计中使用的推理方法是：
归纳推理法
概率统计
▲ 但这种“归纳推理”不同于数学中的“演绎推理”
因为它在作出结论时，是根据所观察到的大量个别 情况 “归纳” 起来所得，而不是从一些假设、命题、 已知的事实等出发，按一定的逻辑推理去得出来的
概率统计
在数理统计中涉及的两个问题： (1) 怎样设计试验，决定观察的数目
这个问题是怎样进行抽样，使抽得的样本更合理， 并有更好的代表性。这是抽样方法和试验设计问 题，最简单易行的是进行随机抽样。 (2) 怎样利用试验观察的结果作出一个“好”的推断
这个问题是怎样从取得的样本去推断总体；这种 推断具有多大的可靠性。这是统计推断问题。
它们的观察值 x1 , x2 ,L xn 为样本值，又
称为 X 的 n 个独立的观察值。
注 ▲ 样本是随机变量，但它具有二重性。
概率统计
▲ 可视样本为一个随机向量，记为 ( X1, X2 ,L Xn )
此时，相应的样本值可记为：( x1 , x2 ,L xn )
从而，容量为 n 的样本可视为 n 维随机变量。
概率统计
随机抽样法： 是一种从局部推断整体的方法.
要较好地反映所研究和讨论的随机变量整体的特
性，就必须研究： (1) 如何抽样，抽多少，怎么抽
抽样方法问题
(2) 如何对抽样的结果进行合理分析，作出科学
的判断.
统计推断问题
今后所讨论的统计问题主要属于下面这种类型:
从所研究的随机变量的某个集合中抽取一部分元素, 对这部分元素的某些数量指标进行试验与观察，根 据试验与观察获得的数据来推断这集合中全体元素 的数量指标的分布情况或数字特征。