简单推导过程如下：
主动力 约束力 Fi FNi 0 i 1, 2,, n
i
质点系处于平衡状态
Fi ri FNi r 0
i i
FNi r 0 理想约束：
i
Fi ri 0
i
2、达朗贝尔原理 达朗贝尔原理是非自由质点系动力学的一个普遍原理，它提供了一种 解决非自由质点系动力学问题的普遍方法，该方法的特点是：用静力学研 究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此又叫做动静法。 达朗贝尔原理：在质点系运动的任意瞬间，质点系中每一个质点上作用的 主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。具体表达式可写为：
Fi FNi FIi 0 W Fi ri 0
i
( Fi FIi ) ri 0
i
d L L 0 i qi dt q
（2）作为基本原理的虚功原理和达朗贝尔原理，是人们在长期实践中 的经验总结，其正确性经受了长期实践的反复验证。如同牛顿定律一样， 是不需要再去证明的。另一方面来说，虚功原理和达朗贝尔原理与牛顿 定律并不矛盾，如果承认牛顿定律是力学的基本原理，那么，就可以把 虚功原理和达朗贝尔原理视为由牛顿定律推导出来的一个定理；反之亦 然。 由前面对Lagrange力学最高原理的分析可知： （1）利用虚功原理，Lagrange力学成功地从方程中消除了理想约束力的 影响，从而使得运算得以简化； （2）由虚功原理和达朗贝尔原理推导得出的动力学普遍方程成功地实现 了从“力” 到“能量”的转换，进而使得Lagrange力学能够适用于整个 物理学领域。
力学 原理
变分 原理
积分原理 微分原理 积分原理
如能量守恒定律等
如动力学普遍方程、高斯最小约束 原理等等
如Hamilton原理、莫培督原理等
1.2.1.1 牛顿定律——牛顿力学 牛顿定律是物理学中最早成熟，令人最满意的关于机械运动的力学 规律。牛顿三个定律密切联系、相互补充而完善，构成了动力学完整的 理论基础，而其精华则是第二定律。 牛顿第二定律最基本的表述是在惯性参考系中，质点所受到的力 ，加速度a 及时间 之间的关系： F 与质点的质量m ，动量P 、位矢r t
1.2.1.3 Hamilton原理——Hamilton力学 Hamilton原理是Hamilton于1843年发表的，它不但可以算作力学里 的最高原理，甚至可以算作整个物理学里的最高原理，只要能够写出体 系（不一定是力学体系）的Lagrange函数，就可以利用Hamilton原理求 出体系的运动方程。
经典 力学 Lagrange 力学 分析 力学 Hamilton 力学
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理
随机动力学之源始，可追溯至20世纪初物理学者对布朗运动的研 究，至今已有百年之历史。其后因各种工程应用的需要，范围逐渐扩 大，包括通信、航天、航海、土木、机械等领域。 对非线性随机动力学的研究则始于上世纪60年代初。截至上世纪 90年代初，该项研究工作的各个方面仍只局限于单自由度或拟线性的 随机动力系统。然而，实际的非线性随机动力系统往往是多自由度、 强非线性的。因此，迫切需要发展多自由度、强非线性系统随的机动 力学与控制理论。
经典力学的整体构架 经典力学理论框架 各力学体系间的关系 分析力学中的基本概念 Hamilton方程的建立 Hamilton力学基础 Hamilton力学的基础知识 Poisson括号 Hamilton相流 正则变换
一、经典力学理论框架
1.1 经典力学Байду номын сангаас整体构架
矢量 力学
十七世纪后期，牛顿在总结前人成果的基础上创 立了公理化的矢量力学体系，因其以矢量形式为 特点，故称之为矢量力学。它以牛顿运动定律为 基础，分析质量和物体的受力情况，由此探讨物 体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及的量多 数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。 力是其中最关键的量。由于矢量力学的所有规律 的建立几乎都以力为基础，故其体系和方法的应 用只能局限于力学领域。
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点： （1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的 运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同 时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域 的问题。 （2）该定律是着眼于单一质点的描述方式，在处理实际问题时，质点 和约束的个数越多，需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学 运算较复杂的原因。
1.1 经典力学的整体构架
矢量 力学 牛顿 力学
最高原理：牛顿定律 牛顿 1687年 《自然哲学的数学原理》 定义了质量、时间、空间、力等力学的基本 概念，发表了著名的力学三大定律。 优点：形象，直观，物理意义鲜明； 缺点：几乎都以力为基础，应用只限于纯力 学问题，运算较复杂。
最高原理：虚功原理、达朗贝尔原理 1788年 Lagrange 《分析力学》 对经典力学的分析形式作了全面总结，建立了Lagrange 形式。用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和 力。 优点：1）运算简化很多； 2)由于能量对任何物理体系都有意义，因此力学的研究 和应用范围也相应地开拓到整个物理学。 缺点：物理意义不明显。 最高原理：Hamilton原理 19世纪30年代，Hamilton推广了分析力学，将力学系统 的变量从空间坐标扩大到相应的动量，从而将Lagrange 第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归 纳为变分形式的Hamilton原理，使得力学系统完全适应 整个物理学发展的要求，而且为量子力学的建立准备了 理论条件。
( Fi FIi ) ri FNi r 0
i
FNi r 0 理想约束：
i
( Fi FIi ) ri 0
i
i
动力学普遍方程
注释： （1）虚功原理借助于理想的完整约束，给处理力学体系的平衡问题提 供了非常有力的工具。达朗贝尔通过“惯性力”的引入，把动力学问题 形式地转化为平衡问题，它再与虚功原理相结合便可得到动力学普遍方 程，进而可得到Lagrange方程。因此，虚功原理和达朗贝尔原理是整个 Lagrange力学的基础。 达朗贝尔原理 虚功原理 动力学普遍方程 Lagrange方程
力学 原理 变分 原理
反应系统真实运 动的普遍规律。 提供一种准则，根据这 种准则，可以将系统的 真实运动从约束所允许 的一切可能运动中找出 来。
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理
某一瞬时系统的 运动规律。 一有限运动过程中 系统的运动规律。
力学 原理
变分 原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理 如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
经典 力学
分析 力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的 方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以 达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量 和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、 拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是 其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限 于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用， 其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了 物理规律背后更普遍的性质。
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
应该强调指出的是，达朗贝尔原理所描述的质点系并非处于平衡状态， 这样做的目的是通过引入惯性力将动力学问题转化为静力学问题来求解。 仿照前述推导方法即可得到动力学普遍方程：
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
1.2.1.2 虚功原理、达朗贝尔原理——Lagrange力学
1、 虚功原理 虚功原理是分析静力学的重要原理，又称虚位移原理，是Lagrange 于1764年建立的，它利用虚位移和理想约束的概念来讨论力学系统处于 平衡的条件。 虚功原理：具有完整、定常、理想约束的质点系，其平衡的充分必要条 件是，作用在质点系上的所有主动力所做的虚功之和等于零。具体表达 式可写为： W Fi ri 0