用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引 起误差的原因是10年增长率估计过高． 按照附录中第2列给出的实际人口可以算出，19世纪100年 和20世纪前80年的10年增长率分别为0.266和0.137，远小于 1790到1800年的增长率0.307．
这个事实对r是常数的基本假设提出了异议.
产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资 源、环境条件等因素对人口继续增加的抑制作用越来越显著， 如果人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常 数的话，那么当人口增加到一定数量后,增长率就会随着人口 的继续增加而逐渐减少.许多国家人口增长的实际情况完全证 实了这一点.我们不妨利用附录第2列给出的数据计算一下美 国人口每10年的增长率,可以知道大致是逐渐下降的.
2、Malthus模型和Logistic模型只考虑了人口总数 和总的增长率，不涉及年龄结构．事实上，在人口 预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不 同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别．两个 国家或地区目前人口总数一样，如果一个国家或地 区年轻人的比例高于另一国家或地区，那么二者人 口的发展状况将大不一样．因此考虑人口模型时， 除了时间变量外，年龄是另一个自变量，得到一个 偏微分方程．
§3.1 §3.2 §3.3 附：
小船行走路线问题 单种群模型与人口问题 交通管理中的黄灯问题 数学建模常用软件简介
§3.1
问 题
小船行走路线问题
一小船从河边某点驶向对岸码头,若考虑水的流速影响, 船行走的路线如何? y 如图3.1.1建立坐标系 (1)水流方向为y轴正向，速 度大小为a; (2)船在A处,轮船匀速行驶, 速度为b,为了到达码头,总 0 是朝向码头O前进； (3)船行走的路线为 y y ( x) (4)河宽为l米.
建模与求解
记
T1
T1－驾驶员反应时间
T3
T2
T2－汽车通过十字路口的时间 T3―停车距离的驾驶时间， 则T=T1+T2+T3为黄灯应亮的时间， 下面计算T2，T3 设法定行驶速度为v0 , 十字路口的长度为I，典型的车身长度 为L.
因为车的尾部必须通过路口，这样通过路口的实际长度就是 I+L，所以汽车通过十字路口的时间为：
格式：dsolve(‘s’, ’s1’, ’s2’,…, ’x’) 其中s为方程；s1, s2, …为初始条件，缺省时给出含任意常 数c1, c2, …的通解；x为自变量，缺省时默认为t .
d 2 y dy 2 4 12 y 0 例如：求微分方程 dx 的特解 dx y (0) 0, y(0) 5
pm d2p 当 p > 2 时， 2 < 0, 曲线向下凹. dt
结论： 人口增长速度dp/dt 由增变减，在pm/2处最大，即在人口总 数达到极限值一半以前是加速生长时期，过这一点以后， 生长的速度逐渐变小，并且迟早会达到零，这是减速生长 时期． 注：1、本节讨论的人口模型，原则上可适用于其他生物种 群，如森林中的树木，池塘中的鱼等，Logistic模型在生 物数量的分析和预测中有着广泛的应用.
第三章 微分方程建模（Ⅰ）
在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量 之间的联系，问题本身往往会给出关于变化率的 一些关系．利用这些关系，我们可以建立相应的 微分方程模型．微分方程建模是数学建模的重要 方法之一，在自然科学以及工程、经济、军事、 社会科学等领域中，微分方程模型是大量存在 的．本章将讨论如何把一些实际问题转化为微分 方程的定解问题．
由船行速度向量的方向为船行 路线的切线方向，所以有
y
Q
N
by y x y bx
2 2
a
P( x, y)
M
x2 y2
或
0
A(l ,0)
x
y a y 2 y 1 ( ) x b x
(1)
图3.1.1
于是我们的问题是求上述方程满足条件
的解.
y a y 2 y 1 ( ) x b x y (l ) 0
>> dsolve('D2y+4*Dy+12*y=0','y(0)=0,Dy(0)=5','x') ans = 5/4*2^(1/2)*exp(-2*x)*sin(2*2^(1/2)*x)
如何建立Malthus的数学模型呢? 设时刻t的人口数为p(t), t = t0 时的人口数为p0, 人口增长率为 = rp (t ) r 根据Malthus的假设,在t到t+△t时间内人口的增长量为
p (t + Δt ) - (t ) Δt
p(t t ) p(t ) rp(t )t
r ( p) r sp
(r , s 0)
r ( p) r sp
(r , s 0)
这里r 相当于p=0时的增长率，称固有增长率． 显然对于任意的p>0 ，增长率r(p)<r. 为确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最 大人口容量pm，称最大人口容量． 当 p= pm时增长率为零，即r(pm )=0，由此可确定出 s=r/pm . 人口增长率r(p)可表示为
M
A(l ,0)
x
PN {0, a}
划船方向指向原点O(0,0)，大小为b.
图3.1.1
y
所以划船速度向量
Q
N
PM {
bx x2 y2
,
by x2 y2
P( x, y)
}
0
M
A(l ,0)
x
图3.1.1
因此船行速度向量
PQ { bx x2 y 2 , by x2 y 2 a}
为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必 须修改Malthus模型关于人口增长率是常数这个基本假设.从而 得到Logistic模型.
模型２ Logistic模型
此模型是荷兰生物学家Verhulst于十九世纪中叶提出．
修改假设：
将增长率r表示为人口p(t)的函数r(p),
按照前面的分析,r(p)是p的减函数. 一个最简单的假定是：设r(p)是p的线性函数，即

x y y 1 k 1 x 2 x c
2 2
（**）
由(*)、(**)可解出
l x 1-k x 1+ k y = [( ) - ( ) ] 2 l l
当x=0时确有y=0，故小船一定能到达码头. 思考：这条路线是最优路线吗？若不是，考虑最优路线． 应以时间最短为标准. 最佳路线应是O到A的直线.
（2）
y a y 2 y 1 ( ) x b x
(1)
模 型 求 解
方程(1)是齐次方程，由齐次方程解法得
a y x y cx , (k 1) （*） b k 由 y(l ) 0 ，可求出任意常数 c l .
2 2 1 k
此外, 有
1 y x y
2 2
p r ( p) r (1 ) pm
其中r, p是根据人口统计数据或经验确定的常数．
p r ( p) r (1 ) pm
（上式表示增长率r(p)与人口尚未实现部分（对最大容量Pm而
pm p 言） 的比成正比，比例系数为固有增长率r.） pm
按照上述假定,（3）应修改为
p dp )p r (1 pm dt p(t ) p 0 0
(1)
dx 对方程(1)积分一次,并代入条件 dt
t 0
v0 ，得
v0 令末速dx/dt=0，得刹车所用时间为 t1 fg
对(2)再积分一次，并代入条件 x(0) 0 ，得
dx fgt v0 dt
(2)
1 2 x(t ) fgt v0t 2
将t1=v0 / fg代入上式，得停车距离为
数学建模常用的三种数学软件
1） Matlab
2） Lindo/ Lingo
3） Mathematica
1）Matlab
Matlab的含义是矩阵实验室(Matrix Laboratory)，是美国MathWork公司于 1982年推出的一套高性能的数值计算和 高性能化软件、它集数值分析、矩阵计 算、信号处理和图形显示于一体. 构成 一个方便的、界面友好的用户环境. 到 目前为止，它已发展成为国际上最新优 秀的科技软件之一.
优点：大型矩阵运算功能非常强，构造个人适用函数很方 便，属于数值计算型软件，对处理大批数据效率高. 因此，非 常适合大型工程技术中使用.
缺点：输出界面稍差，符号运算功能也显得弱一些.再一 个就是这个软件所占内存太大，按现在流行的版本6.5，占硬盘 空间近1个G，对计算机的硬件要求较高.
例1：利用Matlab解微分方程
dp rp （3） dt p(t 0 ) p 0
(4)
（4）式称为Logistic模型．其解为
p(t )
pm pm r ( t t 0 ) 1 ( 1)e p0
(5)
由解(5),可得出人口总数具有如下规律: ①当t→∞时,p(t)→Pm，即无论人口初值如何，人口总是趋 于极限值Pm.
§3.2 单种群模型与人口问题
动植物种群本身是离散变量，谈不到可微性，但由于 突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体 数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假 设大规模种群随时间是连续地甚至是可微地在变化，进而 可以引用微分方程这一数学工具来研究.
模型1 Malthus模型
英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus,1766—1834)于1798 年提出了著名的人口指数增长模型． 这个模型的基本假设：在人口自然增长过程中，人口的净增 长率为常数,即单位时间内人口增量与当时的人口总量成正比.