事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即
Pr{ x<y}。
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泊松分布相关的问题
(5). (续)

1 x 2 x dx e e 1 0 1 dx ( 1 2 )e ( ( 1 2 ) 0
1 2 ) x
泊松分布的母函数
( t ) t n t (1 s ) (s) Pn s e s e n! n 0 k 0
n n
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泊松过程的统计特征
泊松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
se s e (t s ) s t t te
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泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及
{N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平
均数分别是λ1 、λ2，设x，y分别是两个过程出
现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个
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泊松分布相关的问题
(5).(续)

( 1 x ) 1 x 2 x 0 dx 1 (k 1)! e e
fTn (t ) e
t
(t 0)
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泊松分布相关的问题
(3). 泊松过程{N(t), t>0}的第n个 事件到达时间t的概率密度分布 .
0 ~ t 到达n-1个， 即： t ~ t t 内有一 个到达。
( ) f ( ) e (n 1)!
n 1
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泊松分布相关的问题
(4). 泊松过程{N(t), t>0}在（0,t）
内有一个事件出现，它的到达时
间s的概率密度分布.
P[ N ( s) 1] Pr [ N (t ) N ( s)] P[ N ( s) 1 / N (t ) 1] P[ N (t ) 1]
内容
基本概念
泊松过程的分布特征 泊松过程的统计特征 泊松分布的相关问题
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基本概念
计数过程
独立增量过程 平稳增量计数过程 泊松过程
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基本概念--计数过程
计数过程
定义：计数过程 在(0, t)内出现事件A的总数所组成的过 程{ N(t), t>0 }称为计数过程.
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基本概念--计数过程
独立增量过程
定义：独立增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件 A的次数是相互统计独立的则A事件的计数 过程为独立增量过程.
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基本概念--计数过程
平稳增量计数过程
定义：平稳（齐次）增量计数过程 在时间间隔(t, t+s)内出现事件A的次数 [N(t+s)-N(t)]仅与s有关而与t无关，则称 N(t) 为平稳增量计数过程.
1 ( 1 2 )
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泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及 {N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是λ1 、λ2 ，设t1k是第一过程出现第k 次事件的时刻，t21是第二过程出现第一次事件 的时刻，求第一个过程的第k个事件先于第二 个过程的第一个事件的概率，即Pr{ t1k < t21} 。
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即：0 ~ t 内无到达，
f ( ) e

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泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
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泊松过程
泊松过程
泊松过程递推微分方程 泊松过程母函数 泊松分布的几个问题
非齐次泊松过程
复合泊松过程 过滤泊松过程
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
P0 (t t ) P0 (t )(1 t ) 0(t )
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基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
方程的解
P0 (t ) e
t
P1 (t ) t e
t
( t ) n t PN (t 0 t ) N (t 0 ) n Pn e n!
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泊松过程的分布特征
Pn (t t ) Pn (t )(1 t ) Pn1 (t ) t 0(t ), k 1
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
其中
Pn (t ) Pr N (t ) N (0) n
d P0 (t ) P0 (t ) dt d Pn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) d松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
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泊松分布相关的问题