& 观察法解题
有些问题，思索的过程只可意会，难以言传，因此只好用 观察法求解。即：先根据观察、猜想应用什么样的解， 然后进行直接验证。
分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的 条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能 情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把 原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂 问题简单化。
第一讲 数学思维变通性训练
1. 思维变通性概念
在数学教学中，思维变通性表现为：能善于 根据题设中的具体情况，提出新的构想和解题方 案。它体现学生在智力活动中灵活程度上的差异， 是数学思，用一套固定的方案，是行不通的，必 须视其具体情况，灵活确定解题方案。也就是说， 必须具有思维的变通性，根据数学思维变通性的 主要体现，本课程将着重进行以下几个方面的训 练：
复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转
化成具体问题，把未知问题转化成已知问
题。因此，在解数学题时，观察具体特征，
联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时， 不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑 一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常 常能起到穿针引线的作用。
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中 的所有必要的概念？
第三：实现你的计划 实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看 出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
第四：验证所得的解 回顾：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？ 你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？
2．思维训练：
（1）观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象，但 它是认识事物内部规律的基础。所以， 必须重视观察能力的训练，使学生不 但能用常规方法解题，而且能根据题 目的具体特征，采用特殊方法来解题。
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同 的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存 在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素， 有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条 件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更 容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你 能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知 数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你 能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据， 或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
（1）善于观察
做一道数学题，大致上有：审题、想题、解题三大段 。
& 在审题时要细心观察。
解数学题首先要弄清题意。即：正确地感知题目中出现 的主要概念，分清什么是已知，什么是求（证）。
& 在想题时要重视“特殊”的已知条件。
在探索解题思路时，往往会感到有些“特殊”的已知条 件用不上，因而思路也找不出来。有时虽然思路找出来 了，但如果注意到了已知条件中的某些“特殊性”，往 往可以发现有更为简便的思路存在。
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问 题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或 相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你 能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应 该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述 它？回到定义去。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图 或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂 关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深 入思考，发现解题线索。
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解， 道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图 形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓 宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
高中数学解题
思 维 训 练
数学教学的目的在于培养学生的思维
能力。要做到这一点，首先要培养学生良 好的思维品质。
事实上，良好的思维品质往往包括以
下几个方面：思维的变通性、思维的反思 性、思维的严密性和思维的发散性。
培养良好思维品质的途径是进行有素
的训练。本教程将结合中学数学教学的实 际情况，着重进行这方面的训练。
因而，怎样解题，解题的速度 如何，取决于能否由观察到的特征， 灵活运用有关知识，作出相应的联 想，找到突破口，不断深入。
（3）善于进行问题转化
数学家波利亚在《怎样解题》中说过，
数学解题是命题的连续变换。可见解题过 程是通过问题的转化才能完成的。转化是 解数学题的一种十分重要的思维方法。
G
那么，怎样转化呢？概括讲，就是把
有些结构复杂的综合题，就其生成背景而论， 大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合 抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的 中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联 系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要 途径。
联想是转化问题的桥梁。稍具 难度的问题和基础知识之间的联系 都是不明显的、间接的、复杂的。
小资料： 《怎样解题》 G.波利亚
第一：你必须弄清问题 弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满 足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？ 或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？
第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅 助问题，你应该最终得出一个求解的计划。 拟订计划：
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的， 常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算 法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系， 构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造 反例，构造数学模型等等。
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题 意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂 性，使正常的思维难以进行到底。