三角恒等变换 单元教学设计一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述1、本单元教学内容的范围3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力.三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.3、本单元教学内容总体教学目标（1）和差角公式与二倍角公式经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用．能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的有关应用问题.经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式2C的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.（2）简单的三角变换运用三角变换公式进行简单的三角变换，通过公式的综合运用，掌握三角变换的特点，预测变换的目标，设计变换的过程.4、本单元教学内容重点和难点分析（1）两角和与差的正弦、余弦、和正切公式重点：两角和与差的余弦公式求值和证明;难点：两角和的余弦公式的推导.（2）简单的三角变换重点：运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换;难点：公式的综合运用，根据三角变换的特点，设计变换的过程.5.人教A版教材特点用向量证明差角公式，引导学生用向量研究三角问题；建立和角公式与旋转变换之间的联系；引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差；和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.提供了“练习题”，“习题A、习题B”，“复习参考题A ”，“复习参考题B”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的.通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式.在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯.本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；四、设计意图与特色本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.五、本单元教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时六、课时教学设计课题§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、设计意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、学习重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，会导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神.二、学习重、难点1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P 1, ∠P 1OP ＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sin β和cos β？思考6：cos αcos β＝OAcos α，它表示哪条线段长？ sin αsin β＝PAsin α，它表示哪条线段长？思考7：利用OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP 可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立吗？思考9：根据cos αcos β＋sin αsin β的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则向量OA 、OB 的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：向量OA 与OB 的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，OA ⋅OB 等于什么？由此可得什么结论？思考12：公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β称为差角的余弦公式，记作()C αβ-，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：两角差的余弦公式的变通思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？思考2：利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？思考3：若cos α＋cos β＝a ，sin α＋sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？思考4：若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？1221-1232322、随堂练习⑴、________15cos =⑵、)cos(),23,(,43cos ),,2(,32sin βαππββππαα-∈-=∈=求已知 ⑶、15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值3、知识拓展例11cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos 例2 已知1cos()cos sin()sin,3且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα2,23 , 求)4cos(πα-的值. 四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评1cos79cos34sin 79sin34 +=、（） A12B 1 C2、4,(,),cos()( )524ππααπα=-∈-=已知cos 则B -C -D 10101010AA cos sin cos sin2012AB 3、在平面直角坐标系中，已知两点（80，80），B(20，），则的值是（）A14sin sin 1cos ,cos()22αβαβαβ-=--=--=、若则 5cos cos cos 0,sin sin sin 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-=、若则1116cos cos cos 714αβααββ=+=-、已知，都是锐角，，（），求的值。

347sin x sin y cos x cos y cos x y)55+=+=-、若，，求（的值。

课题 §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）一、学习目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角和与差的基本三角公式思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作()C αβ+，该公式有什么特点？如何记忆？思考3： 诱导公式sin()cos 2παα±=可以实现由正弦到余弦的转化，结合()C αβ+ 和()C αβ- 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作()S αβ+，()S αβ-，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从()S αβ±、()C αβ±出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tan α、tan β有什么关系思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作()T αβ+，()T αβ-，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考7：为方便起见，公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+称为和角公式，公式()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？探究（二）：两角和与差三角公式的变通思考1：若cos α＋cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α＋β)等于 思考2：若sin α＋cos β＝a ，cos α＋sin β＝b ，则sin(α＋β)等于思考3：根据公式()T αβ+，tan α＋tan β可变形为 思考4：sinx ＋cosx 能用一个三角函数表示吗？2、随堂练习⑴、利用和差角公式，求下列各式的值①sin15o； ②cos 75o； ⑵、利用和差角公式，求下列各式的值 ①sin 72cos 42cos72sin 42oooo-； ②cos 20cos70sin 20sin 70oooo-；⑶、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.3、知识拓展例1.化简x x - ⑵1tan151tan15+-例2.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．例3.已知33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．四、反思小结1.两角差的余弦公式()C αβ-是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.2.公式()S αβ+与()S αβ-，()C αβ+与()C αβ-，()T αβ+与()T αβ-的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.五、自我测评1sin163sin 223sin 253sin 313( )11A - B C - D2222+=、1tan 24tan 1tan 4απαα-=+-+、已知（）的值等于（）3sin cos 0sin cos 221C D 1333B πθθθθθ-=≤≤、已知），则+=（ ）A()()sin 7cos15sin 84 cos 7sin15sin 8y cosx+cos x+ 3π+-、的值为 5、函数=（）的最大值是()()()()()23tan 6sin sin 34tan 7y x cos x x 1y x 2y sin x x RR ααβαββ+=-==+∈=∈、已知，，求的值。