空间直线与直线的位置关系
复习复引习入： 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系？
(1)、相交：有且仅有一个公共点。 (2)、平行：在同一平面内没有公共点。
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系？
互相平行
提出问题：空间中的如果两条直线都与 第三条直线平行，那么这两条直线之间 的位置关系呢？
A
B
C
D
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相
交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐
角(或直角)相等.
3.空间中两条直线的位置关系 观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑
板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察长方体的棱所在 直线,回答类似的问题.
思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？
观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与 ∠B'A'D'的两边分别对应平行，这两组角的大小 关系如何？
新课讲授
2. 等角定理
定理1：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A
B
C
D
E
F
新课讲授
定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，那么这两个角相等或互补。
∴EH ∥BD且EH = 1 BD
同理，FG
2 ∥BD且FG
1
=
BD
2
∴EH ∥FG且EH =FG
H
E
D G
B
F
C
∴EFGH是一个平行四边形
变式练习
在例3中，如果再加上条件AC=BD， 那么四边形EFGH是什么图形?
A
菱形 E
分析：
在例题2的基础上 B
我们只需要证明平行四
F
边形的两条邻边相等。
H D
O ∠1
:
结论:
①角的大小由异面直线的相对位置决 定，与点 O 的选取无关
②当异面直线 a 和 b 所成角为直角时，
记为 a b
③两异面直线所成角的范围为： 0,
2
空间两直线所成角的范围：
0,
2
例 1.如图,在正方体 ABCD A'B'C'D' 中,
棱长为1,求下列异面直线所成角的大小
D' A'
空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
共面 不共面
相交直线 平行直线
异面直线
按公共点个数分
有一个公共点:相交直线 平行直线
无 公 共 点 异面直线
发挥你的想象力: 练习1 ：下列说法是否正确 （1）a ,b , ,则a 与 b是异面直线 （2）a,b 不同在平面 内，则 a与b 是异面直线
D1
M
C1
A1
B1
N
D
C
A
B
例题： 2.已知：直线l与平面a相交于点A，直线m 在平面a上，且不经过点A，求证：直线l与 m是异面直线。
注：常用反证法证明两条直线是异面直线。
练习提升
1、“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b； ② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ ③ a 平面 ， b 平面 ④ 不存在平面 ，能使a 且b 成立
经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所
成的锐角(或b 直角)叫做异面直线a与b所成的角
b′
a′″
O
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?
b
a″ a ∠2
答:
这个角的大小与O点的位置无关.
定理
理论
1
支 持
b′
a’
（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a，b， b
A
a
(1)
怎样求两条异面直线所成的角呢？
解决设想
b
b′
a′″
O
概念形成
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形 问题为平面图形问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b ,
其中 a, b 表示直线，, 表示平面。
a ,b ,
b
M
ab
a
b
a
a与b是异面直线 a与b是相交直线 a与b是平行直线
答：不一定：它们可b不同在平面内
D1
C1
A1
B1
bD
C
A
a
B
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
想1.已一知想M,做、一N做分：别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直 线吗？
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间 这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
a∥b
a∥c
c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?
例题讲解
例1：如图，已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1
的面ABCD上一点，经过点P作棱AB的平行
线，应该怎样作，并说明理由。
D1
C1
P
A1
B1
Dj A
C B
例题讲解
例3： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H
分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明： 连结BD
A
∵ EH是△ABD的中位线
上述结论中，正确的是
（ C）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
G
C
变式练习
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中
点,F,G分别是CB,CD上的点,且 CF CG 2 ，
求证:四边形ABCD为梯形.
CB CD 3 A
H E
分析：需要证明四边形ABCD有
一组对边平行，但不相等。
B
D G
F C
复习
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个 角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立 呢?
要用数学的眼光看世界
异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线
为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用 一个或两个平面衬托。如下图:
b
b
b
a
a
a
空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
3、异面
m
l
P
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
没有公共点 不同在任一平面