当| |2 1时， 是可逆元；当| |2 9 时，| |2 1 ，即 是单位，于是 与 相伴。因此， 只有平凡因子，即 是
不可约元。 由此可知，环 Z[ 5i]中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。
由于 3 2 5i 2 5i ，但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。
证明 对任意 a,b G ，有 a,b K ，存在 a1,b1 K ，因
aa1 1， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1) a(bb1)a1 1。
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以1G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。
约元。
定理 4.1.3 整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。
证明 若 a 有真因子 b ,那么 a=bc 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意
一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。
由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
(1)证明： 是 D 的单位 | |2 1 1 ； (2)求 Z 的相伴元。
习题二十六解答
1、证明 先一般地证明满足 a 2 9 的元 a 是 Z i 的不可约元。显
然 a 0 而 a 也 不 是 单 位 。 现 设 b m ni 是 a 的 因 子 ， 则
a 1 ， b 0 或 a 0 ， b 1。
即 1和 i 是环 Z i 的全部单位。
（2）设 a bi 是 5 在 Z i 中的任一真因子，则存在 Z i，使得 5 ， 25 2 2 。这只有
2 1 、5 或 25。
约元矛盾。
设 b | a ，令 a bc ，且 b 不是单位，
则有 a b( 1c) ，即 b | a 。但 a 是不可约
元，故 b 只能是 a 的相伴元。设
b a ( 1)( a) ，（ 是单位）。
由于 1 也是单位，从而 b 是 a 的相 伴元，即 a 只有平凡因子。因此 a 是不可
定义 3 设 p K ，p 0 且 p 不是单
位。若当 p ab 时，必有 p a 或 p b ，则称 p 为
K 的素元。
例 3 在 中, 任一素数 既是素元又是不可约元.
例4在
中, 证明:
是不可约元, 但不是素元.
证明
(1) 首先证明
在
中不可约.
设
,则
. 所以
.
即
. 由此得
(i)
ห้องสมุดไป่ตู้
,
; (ii)
a bc ,c Z i ， 于 是 9 a 2 b 2 c 2 ， 而 对 m, n Z
b 2 m2 n2 3 ，因而有 b 2 1或 9，当 b 2 1时，b 为单位。当 b 2 9
时，有 c 2 1，即 c 是单位，于是 b 与 a 相伴，从而 b 不是 a 的真因
b a, a ac 1 c
c 是单位，与 假定不合。这样，b 既不是单位，也不是 a 的 相伴元，b 是 a 的真因子。证毕。
显然，整数环 Z 中的不可约元和素元都是正负素数，数
域 P 上的一元多项式环 Px 中的不可约元和素元都是不可
约多项式。但对一般的整环 K 不可约元和素元是有区别的。 定理 4.1.4 环 K 中素元一定是不可约元。 证明：设 p K ， a 是 p 的任一因子，且 p ab （1）
1 2' 2 但 2 m2 3n2 是一正整数，同样 ' 2 也是 正整数，因此，只有 2 1 。由 2 m2 3n2 1 ， 则只能 m 1,且n 0,即 1. 反之，若 m 1,且n 0,即 1.
则 显然显然是 D 的单位。 (2)由相伴元的定义可得 2 的相伴元只有 2 与-2。
在一般的整环上，元素的唯一分解性结论怎么样？由于整
数环 Z 和数域 P 上的一元多项式环 Px 都是有单位元的整环，
因此，以下所说的环 K ，均假定为有单位元的整环且 K 1。
一、 相伴元、不可约元、素元的定义
1、整数环中的整除及素数的概念在一般整环里的推广。
定义 1 设 a,b K ， K 。
由于 是 5 的真因子，而环 Z i 的单位只有 1， i ，故
2 1；
又 2 25 。若 2 25 ，则 2 1。即 是单位， 与 5
相伴。这与 是 5 的真因子矛盾。故只有
2 a2 b2 5。
解此方程得
a 1 b 2
中任何一个，即 3 不是环 Z 5i 的素元。
习题二十六
1、证明：在高斯整环 D Z i 中，3 是不可约元，5 是可
约元。
2、证明：
D


m 2n
mZ ，nZ ，n 0

是整环，并指

出 D 的哪些元素是单位，哪些是素元。
3、设 D z 3i m n 3i | m, n Z
，
a b

2 1
。
于是，5 的全部真因子共有 8 个，它们是 1 2i ， 2 i 。 实际上，5 的不相伴的真因子只有两个，1 2i ，而其余的 真因子都与这两个中的某一个相伴。
3、不可约元、素元的定义：
定义 2 设 a K, a 0 且 a 不是单
位。若 a 只有平凡因子，则称 a 为环 K 的一 个不可约元。否则，称 a 为环 K 的一个可约 元。
由于环 K 有单位元，故 p | p ，p ab 。但 p 是素元，故有 p a 或 p b。
若 p a ，令 a pc ，代入（1）得 p pcb ，
则 cb 1，即 b 是单位，从而 a 与 p 相伴。
若 p b ，同理可得 a 是单位， b 与 p 相伴。
因此 p 只有平凡因子，从而 p 是不可约元。 应注意，这个定理的逆命题不成立，即不可约元不 一定是素元。 例 5 Z 5i {a b 5i | a,b Z}是有单位元的整环。
（1） 若存在元素 c K 使 a bc 则称 b 整除 a ，也称 b 是 a 的因子，记为 b | a 。若 b 不能整除 a ，则记为 b | a 。
（2）若 是一个有逆元的元，则称 为 K 的单位。
（3）若 a b ，其中 是 K 的一个单位，则称
a 与 b 相伴，并称 a 是 b 的相伴元。 （4）单位和相伴元称为 a 的平凡因子；别的
第 26 讲
第四章 整环里的因子分解 §1 相伴元、不可约元、素元
在整数环 Z 里，每一个非零的不等于 1的数，都可以分 解成若干素数（包括负素数）的乘积，而且除了因数次序和 1的因数差别以外，分解是唯一的。
在数域 P 上的一元多项式环 Px 中，每一个次数大于等于
1 的多项式，都能分解成若干不可约多项式的乘积，而且除了因 子次序和零次因式的差别以外，分解是唯一的。
２） D 的素元。依然是 m 2k p( p, k 的限制同上）
我们要求
ⅰ） p 0
ⅱ） p 1 ⅲ） 2k p 只有平凡因子
满足ⅰ）—— ⅲ）的 p 是奇素数
故m

2k
p而
p
是奇素数时
m 2n
是素元，反之亦然，
3 证（1） D 的元 是单位，当而且只当 2 1时，
事实上，若 m n 3i 是单位 则1 1 即 12 2 ' 2 ，于是
推论 两个单位 和 的乘积 也是一个单位，单位 的逆元 1
也是一个单位。
例2 求出高斯整环 Z i 中的所有单位以及整数 5 在 Z i
中的所有真因子。
解 （1）设 a bi 是 Z i 的任一单位，则有 Z i
使 1， 2 2 1。这只有 2 a2 b2 1 ，从而有
, ; (iii)
,.
(i) 如果
,则
, 所以
.
如果
,则
.
当,
时,
.
因为
.
当
, 时,
.
(ii) 如果
, , 这不可能。
(iii) 如果
, ,则
.
由此知,
的任一因子都不是真因子, 故
在
中不可约.
(2) 证明
不是
中的素元.
由于
,而
,故
不是素元.
二、相伴元、不可约元、素元的关系
定理 4.1.2 环 K 中不可约元 a 的任意相伴元仍为 K 中的
若 | |2 9 ，则 必是环 Z[ 5i] 的不可约
元。
证明 事实上,若 a b 5i 是 的任一
因子，则有 Z[ 5i] ，使 , | |2| |2 | |2 9 ，
这 只 有 | |2 1, 3 或 9 。 但 易 知 | |2 a2 5b2 3 ， 故 只 有 | |2 1或 9 。