旋转矩阵四元素法和光束法平差模型1. 旋转矩阵的四元素表示法：由于利用传统旋转矩阵表示法解算时,旋转阵中的三角函数存在多值性和奇异性,经常导致迭代计算的次数增加,甚至会出现不收敛情况。

Pope 从四维代数出发,提出用四个代数参数d, a, b, c 构成R 矩阵,Hinsken 导出了一整套公式,即pope-hinsken 算法(简称P-H 算法),使pope 参数在实际摄影测量中得到了应用。

设四个参数d, a, b, c 服从下列条件（如式3-1）:12222=+++c b a d………………（式3-1）用这四个参数构造下列矩阵（如式3-2）:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=d a b c a d c b b c d a c b a d P ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=d a b c a d c b b c d a c b a d a Q …………（式3-2） 可以知道P,Q 矩阵都是正交矩阵，从而可知（式3-3）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==0000001R PQ T …………（式3-3）因I PQTX TTTPQ T 44==可知I R X TR 33=,R 为正交矩阵，其形式如（式3-4）： ……（式3-4）上式就是旋转矩阵R 的四元素表示法，可以表示任何一种旋转状态。

2. 光束法平差模型：在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其为光束法。

光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。

该计算也是在提供一个近似解的基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。

①.共线方程式的表达：设S 为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（S X ,S Y ,S Z ）;M 为空间一点，在世界坐标系下的坐标为（X,Y,Z ），m 是M 在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x ，y ，-f ），（m m m Z Y X ,,），此时可知S 、m 、M 三点共线。

可得（式3-5）λ===---ZS Z ZmYS Y Ym XSX Xm ……（式3-5）再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有（式3-6）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-m m m m m m T Z Y X c b a c b a c b a Z Y X f y x R *333222111 ……（式3-6）由式3-5和式3-6可解得共线方程式为（式3-7）)(3)(3)(3)(2)(2)(20)(3)(3)(3)(1)(1)(10ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X c b a c b a fy y c b a c b a f x x -+-+--+-+--+-+--+-+--=--=- ……（式3-7） 其中，0x 、0y 、f 是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机主距。

②.共线方程式的线性化：该方程式一次项展开式为（式3-8）ZY X Zs Ys X s ZY X Zs Ys X s d d d d d d d d d F F d d d d d d d d d F F ZFy YFy XFy Fy Fy Fy ZsFy YsFy XsFyy y FxFx Fx Fx Fx Fx Fx Fx Fx X X ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++++=+++++++++=κωϕκωϕκωϕ00…（式3-8）式中0X F 、0y F 为共线方程函数近似值，X s d 、Ys d 、Zs d 、ϕd 、ωd 、κd 为外方位元素改正数，X d 、Y d 、Z d 为待定点的坐标改正数。

在保证共线条件下有：ZsFy Z Fy Ys Fy Y Fy Xs Fy XFy ZsFxZ Fx Ys Fx Y Fx Xs Fx X Fx ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-=-=-=-=-=-=,,,, ……（式3-9） 此时，根据式3-7以及旋转矩阵可得到（式3-10）：)(31111Fx a f a a zXs Fx +==∂∂ )(31121Fx b f b a z Ys Fx +==∂∂ )(31131Fx c f c a z Zs Fx +==∂∂ )(32211Fy a f a a z Xs Fy +==∂∂)(32221Fy b f b a Fy +==∂)(32231Fy c f c a z ZsFy+==∂∂ωκκκωϕcos ]cos )sin cos ([sin 14f y x y a f xFx +--==∂∂ ……（式3-10） )cos sin (sin 15κκκωy x f a f x Fx +--==∂∂y a Fx ==∂∂κ16ωκκκωϕcos ]sin )sin cos ([sin 24f y x x a f y Fy ----==∂∂)cos sin (cos 25κκκωy x f a f y Fy +--==∂∂ x a Fy -==∂∂κ26③误差方程式的建立：据此可得到误差方程式为（式3-11）：yZ Y X Zs Ys X s xZ Y X Zs Ys X s l d a d a d a d a d a d a d a d a d a V l d a d a d a d a d a d a d a d a d a V y X ----+++++=----+++++=232221262524232221131211161514131211κωϕκωϕ …（式3-11）其中有：)(3)(3)(3)(2)(2)(20)(3)(3)(3)(1)(1)(10ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X y y ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X X X c b a c b a fy F F l c b a c b a f x F F l y x -+-+--+-+--+-+--+-+-+=-=+=-= ……（式3-12） 将误差方程式改写成矩阵形式可为（式3-13）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x Z Y X Zs Ys X s l l d d d a a a a a a d d d d d d a a a a a a a a a a a a V V y X **232221131211262524232221161514131211κωϕ ……（式3-13） 也可简写成：[]L Bt AX L t X B A V -+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=* ……（式3-14） 在该式中有：[][][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==y x Z Y X Zs Ys X s y l l L d d d t d d d d d d X a a a a a a B a a a a a a a a a a a a A V V V T TT x Tκωϕ232221131211262524232221161514131211④法方程式的建立：根据平差原理可知其法方程式为（式3-15）：0*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡L B L A t X B B A B B A A A T T T T T T ……（式3-15） 此时，对于加密点，只需列出误差方程式，权赋1；对于控制点，列出误差方程式，还要列出虚拟误差方程式，权赋P 。

虚拟误差方程式为（式3-16）：⎪⎩⎪⎨⎧∆=∆=∆=Z V Y V X V P Z Y X 权为 ……（式3-16）列出各类点的误差方程式后，按照最小二乘法原理建立法方程式，即按PVV ∑为最小建立的法方程式为（式3-17）：0*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡PL B PL A t X PB B PA B PB A PA A T T TT T T ……（式3-17） 也可简写成：0*2122121211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡L L t X N N N N T 在根据上式进行展开消元可得改化法方程式为：[]2122121121221211*L N N L X N N N N T ---=- ……（式3-18） 或者[]1111T 12212111T 1222t *L N N L N N N N---=- ……（式3-19）根据式3-18可以求解出外方位元素的改正值；式3-19可以求解出点的坐标改正值。

⑤.结果判定：将改正数和规定的限差相比较，若小于限差则迭代完成，否则用未知数的新值又作为近似值继续迭代，直至满足条件。

由此可知，开始时提供的初始值越接近最佳值，解的收敛速度就愈快；所以通常的处理方法是先进行空间后方交会，求出像片的外方位元素，将其作为光束法平差时未知数的初始值。

参考文献：摄影测量学 武汉大学出版社 金为铣 2001年4月 P23J1718。