题型一：“f (x) a”型（其中a为常数）
(1).对x D,有f (x) a恒成立 对x D， (2).对x D,有f (x) a恒成立 对x D，
形式推广：1(1).函数f (x)在区间D单调递增
(2)函数f (x)在区间D单调递减
2(1).对x D,有f (x) g(x)恒成立 对x D，
对x1，x2 D,
。
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
(1)若 f (x) 是R上的增函数，求实数a的取值范围；
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
(2)若 x [2, 1], f (x) 0恒成立，求实数a的取 值范围；
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
f '(x) lim y x x0
f (x x) f (x)
lim
x0
x
第二中学 姜宁宁
2015.4.8
如
何
利
用
解 决
导 数
恒
成
立
问
题
一、复习引入，温故知新
平均速度
导数与切线的斜率
瞬时速度
导
导数与函数的单调性
平均变化率 数
瞬时变化率
导数与函数的极值、 最值
导数、函数、不等式
不等式恒成立问题是近年高考的热点问题，常
1、知识技能方面： 2、思想方法方面：
五、作业布置，巩固提高
所有题重新规范做一遍明天交，完成没 有完成的练习题
2.2班学生名单随机抽取系统
学号：
宋存亮 张远洋 王建策 吴志昊 赵宏吉 刘勇序 陈冰瑞 朱春成 宋金皓 张旭 李介元 郭鑫 邓明珠 张勇 秦彪 王烨 刘炎 赵思宇 赵鑫雨 郝令年 杨蕊 王欣怡 赵春莲 陈怡 周旋 关 硕 耿浤力 李洪鑫 霍子琪 赵婉双 何凤强 杜强
(2)若 x [2, 1], f (x) 0恒成立，求实数a的取 值范围；
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
(2)若 x [2, 1], f (x) 0恒成立，求实数a的取 值范围；
变式训练1：已知函数f (x) x3 x g(x) ax2 (a R)
若x 2,1，f (x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围.
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
(4)若 a 2, x1, x2 [1, 2],| f (x1) f (x2 ) | m 恒成 立，求实数m的取值范围；
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
(5)设 g(x) 2x2 x k ，当 a 2 时，对
任意 x1, x2 [1, 2]，f (x1) g(x2 ) ,求实数 k的取
值范围。
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
(5)设 g(x) 2x2 x k ，当 a 2 时，对
任意 x1, x2 [1, 2]，f (x1) g(x2 ) ,求实数 k的取
值范围。
抽号1
练习1：已知函数f (x) x2 a ln x a(a 0) 在(0,)满足f (x) 0恒成立，求a的取值范围.
抽号2
变式1：已知函数f (x) x2 a，g(x) a ln x(a 0), 对任意x (0,), f (x) g(x)恒成立，求a的取值范围.
变式1：已知函数f (x) x2 a，g(x) a ln x(a 0), 对任意x (0,), f (x) g(x)恒成立，求a的取值范围.
注意：函数f (x)图像恒在函数g(x)图像上方
不一定推出f
( x) m in
g
(
x)
m
恒成立
ax
例2：已知f (x) x a2 , g(x) x2 2 ln x,其中a 0， x
若对于x , x (0,),都有f (x ) g(x )恒成立，求a的取值范围.
1
2
1
2
四、自主小结，整理归纳
抽号3
• 小结：在面对不同形式呈现的恒成立问题，我们 应想方设法转化为 f (x) a 型的结构形式，利用
导数在求解函数最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优越性，从而轻松、简捷 地解决相应问题.
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)
(4)若 a 2, x1, x2 [1, 2],| f (x1) f (x2 ) | m 恒成 立，求实数m的取值范围；
小结：辨析“f (x1) g(x2 )”型与“f (x) g(x)”型的差异：
1.对于x1, x2 D,有f (x1) g(x2 )恒成立
对x
D, 有f
( x) m in
g
(
x)
m
恒成立
ax
2.对于x D，有f (x) g(x)恒成立
对x D，f (x) g(x) 0恒成立
对x D, f (x) g(x) min 0或对x D，f (x)min a;
(2)对x D,有f (x) g(x)恒成立 对x D，
题型二：“f (x ) g(x )”型
1
2
(1).形如x1，x2 D,都有f (x1) g(x2 )恒成立
（2）.形如x1，x2 D,都有f (x1) g(x2 )恒成立
形式推广：形如x1，x2 D,都有 f (x1) f (x2 ) m恒成立
以压轴题形式出现，交汇函数、方程、不等式和 数列等知识，有效地甄别考生的数学思维能力.由
于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最 值问题，而导数，以其本身所具备的一般性和有
效性，在求解函数最值中，起到无可替代的作用， 因此，我们就不等式恒成立问题的两种常见类型， 探讨如何利用导数进行解决。
二二、、新典课例讲解精，析概、念概深化念深化
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R) (3)当 a 1 时，求证：3ln x f (x) x3 2
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R) (3)当 a 1 时，求证：3ln x f (x) x3 2
变式训练2：已知函数f (x) x3 ax2 x(a R) 当a 1时，求证f (x) 3ln x x3 2
抽取结果：
赵鑫雨
开始
1
2
3
二、新课讲解，概念深化
例1 已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)