'
2. 求函数 y e
解
1 x 1 2
1 x
sin x tan x 的导数.
1 4 1 8
y (e ) (sin x ) (tan x )
1 1 1 ln y ln sin x ln tan x 2x 4 8
3. 设函数
( x 1)( x 2) ( x n) f ( x) , 求 f ( x ). ( x 1)( x 2) ( x n)
(t ) 0 时, 有
dy dy d t dy 1 dx d t dx d t dx dt '(t ) 0 时, 有
dx dx d t dx 1 d y dt d y d t d y
dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
dy ( t ) dy dt 即 ( t ) dx dx dt ( t ) ( t )
代入x=0, y=1得
y
x 0 y 1
1 ; 4
将方程(1)两端再对 x 求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y)2 4 y 3 y 0
代入x=0, y=1, y
x 0 y 1
1 y 得 4
x 0 y 1
1 . 16
y (e x (lnsin x lncos x ) )
e x (lnsin x lncos x ) [ x(lnsin x lncos x)]
(tan x) x ( x cot x x tan x lntan x)
上面例子说明对数求导法是充分利用对数性质及复合函数 求导法则来简化求导计算的方法.
例5 设 解 因为
设 解
，
方程组两边同时对 t 求导, 得
dy dx
t 0
x a ( t sin t ) 求摆线 在t 处的切线 2 y a (1 cos t ) 方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
2. 设方程 x2 + y2 = R2 确定函数 y = y(x), 求 解
dy . dx
方程两端逐项对 x 求导( y 是 x 的函数) 得
2 x 2 yy 0
解得
y
x (圆周上点( x, y )的切线斜率) y
1 3. sin( x y ) xy , y [ , ], 求y | x 0 . 2 2 2
cos y y 注意：y | x 0 . cos y
例3 求由方程 x3 + y3 – a = 0(a 是常数) 确定的隐函数 y(x) 的二阶导数. 解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)并解得
dy x2 2 dx y
上式两端再对 x 求导( y 是 x 的函数)得
dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 由方程知 x=0, y=0, 解得 , y dx x e
dy dx
x0
ex y x ey
x0 y0
1.
例2 求曲线 y + x – exy = 0 在点(0‚ 1)处的切线方程.
解
方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得
y esin y x2 y2 0
这时由方程 F(x, y) = 0确定了 y 是 x 的隐函数. 既然由方程 F(x, y) = 0确定了y 是 x 的(隐)函数, 因而有必要 讨论直接由方程 F(x, y) = 0如何求它所确定的隐函数的导数. 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
解
( x 1)( x 2) ( x n) 令 ln f ( x ) ln ( x 1)( x 2) ( x n)
ln( x 1) ln( x n) [ln( x 1) ln( x n)]
f '( x ) 1 1 1 1 [ ] f ( x ) ( x 1) ( x n) ( x 1) ( x n)
4 4 2. 设 x xy y 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解
方程两边对 x 求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y)2 4 y 3 y 0
1. 幂指函数y =ƒ (x) φ(x) (ƒ(x)>0)的导数.
例4 求幂指函数
y (tan x) . 的导数
x
解1(对数求导法) 首先取对数，得
ln y ln(tan x) x x ln(tan x)
x(lnsin x lncos x )
两端对x求导, 得
y cos x sin x lnsin x lncos x x( ) y sin x cos x
应地总有唯一地满足这个方程的y 值存在, 这就是由方程 F(x,
y) = 0确定的函数, 我们称为隐函数.
一般地, 方程 F(x, y) = 0 在一定条件下确定 的隐函数有两种情形: (1) 由方程F(x, y) = 0反解出y , 确定 y 是 x 的函数 y = ƒ(x) , 我 们称为将一个隐函数显化; (2) 由方程F(x, y) = 0确定 y 是 x 的函数不能或不易显化. 如
当 t 时, x a( 1), y a . 2 2
所求切线方程为


y a x a( 1) 2
即 y x a( 2 ) 2


由参数方程所确定的函数的二阶导数: 若参数方程中 , 二阶可导, 且
x x 例 (x x )=x x [( x x ) ln x 1 ] x
x x
2. 多个函数连乘或连除的导数 例5 设 y
( x 1) 3 (3 x 1)2 (2 x ) x5
2 3
, 求 y .
解 取已知函数的绝对值的对数, 得
ln y ln x 1 3x 1 2 x x5
d2 y 2 xy 2 x 2 2 yy 2 dx y4 2 x( y 3 x 3 ) 2 xa 5 5 y y
1. 设 x4 – xy +y4 = 1, 求隐函数 y(x) 在点(0,1)处的二阶导数值. 解 方程两端逐项对 x 求导得
4 x3 y xy 4 y 3 y 0 (1)
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
3. e e x y, 求y.
x y
解 两边对x求导: e e y 1 y 解得 y e y 1 , e 1 x y x y e (e 1) (e 1)e y y y 2 (e 1) x y 2 y x 2 e (e 1) e (e 1) . y 3 (e 1)
故
1 1 1 1 f '( x ) f ( x ){ [ ]} ( x 1) ( x n) ( x 1) ( x n)
二、由参数方程所确定的函数的的导数
若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, 我们称之为由参数方程所确定的函数. 我们可以通过消去参数 t 得到 y 与 x 之间的显式函数表
ln tan x x cot x x tan x
y (tan x) x (lntan x x cot x x tan x)
解2
y (tan x) e
x
ln(tan x ) x
e x lntan x e x (lnsin x lncos x )
利用复合函数求导法则, 得
1 2 1 3
2 1 1 ln y ln x 1 ln 3 x 1 ln 2 x ln x 5 3 3 2
利用复合函数求导法则 , 上式两端对 x 求导, 得
y 1 2 3 1 1 1 1 y x 1 3 3x 1 3 2 x 2 x 5
( x 1) 3 (3 x 1) 2(2 x) 1 2 1 1 y [ ] x 1 3 x 1 3(2 x ) 2( x 5) x5
( x 1)( x 2) 的导数. 1. 求函数 y ( x 3)( x 4)
解
1 ( x 1)( x 2) 1 1 1 1 y ( ) 2 ( x 3)( x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
求 y ' x 0 .
解 在方程两端同时对x求导, 得
1 cos xy ( y xy ') ( y ' 1) 1 y x (1)
将 x 0代入原方程得
lny 0
即 y 1
再将 x 0, y 1代入(1)得
1 y ' x 0 1 1
即
y ' x 0 1.
解 两边对x求导 ( x y ) cos( x y ) xy yx y xy
cos( x y ) y 解得 y x cos( x y )
1 将x 0代入方程得,sin y ,即y 2 6 cos 3 3 6 6 y | x 0 . cos 6 3 3
达式
x 2t , 例如 2 y t ,