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1
i, j fi 0(ui ),
ij
1 2
(ui
,
j
u j,i ),
j 1, 2,3 i, j 1, 2,3
其中fi 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程 是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六 个方程，使得方程组封闭。
另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变， 反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之 间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本 章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。
xz
xz
0
f3
xy
0
xy
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由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy
2v
xz y
C52
根据偏导数次序可交换原则，可证C25=C52。对于其它的
弹性常数可以作同样的分析，则 Cmn=Cnm 。
上述结论表明完全各向异性调研弹学性习 体只有21个弹性常数 。 11
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果物体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向 具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。垂 直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
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上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。
可以证明各弹性常数之间存在关系式 = cmn cnm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
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§4.2 弹性体变形过程中的功与能
0
f1
yz
0
yz
f1
xz
0
xz
f1
xy
0
xy
y
(
f2 )0
f2
x
x
0
f2
y
0
y
f2
z
z
0
f2
yz
0
yz
f2
xz
0
xz
f2
xy
0
xy
z
(
f3 )0
f3
x
x
0
f3
y
y
0
f3
z
0 z
f3
yz
0
yz
f3
x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx
根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义 胡克定律表达式(4-2)得
假设yz坐标面为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。将x轴绕 动 z 轴转动π 角度，成为新的 Ox'y'z'坐标系。
新旧坐标系之间的转换关系为
x
y
z
x’
-1
0
0
y’
0
1
0
z’
0
0
1
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根据对称性质:关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换 时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系 变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有,
10
1. 极端各向异性弹§性4体.3 各向异性弹性体
利用格林公式和广义胡克定律：
v
y
y
C21 x C22 y
C23 z
C24 yz C25 xz C26 xy
再对
xz求偏导:
2v
y
xz
C25
同理有：
v
xz
xz
C51 x
C52 y
C53 z
C54 yz
C55 xz C56 xy
x f1( x , y , z , xy , yz , zx )
y f2 ( x , y , z , xy , yz , zx ) z f3 ( x , y , z , xy , yz , zx )
(4-1)
xy f4 ( x , y , z , xy , yz , zx )
yz f5 ( x , y , z , xy , yz , zx )
zx f6 ( x , y , z , xy , yz , zx )
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当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x
(
f1 )0
f1
x
x
0
f1
y
y
0
f1
z
z
x
vF x
,
y
vF y
,
z
vF z
,
xy
vF xy
,
yz
vF yz
,
xz
vF xz
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统一的形式：
x
v x
,
y
v y
,
z
v z
,
xy
v xy
,
yz
v yz
,
xz
v xz
弹性体的应变能函数表达式
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
yz yz
xz xz)
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yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy (4-2) xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
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2
第四章 应力和应变的关系
第一节 广义胡克定律 第二节 弹性变形过程中的能量 第三节 各向异性弹性体 第四节 各向同性弹性体 第五节 弹性常数的测定 各向同性体 应变能密度
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3
第一节 广义胡克定律
物体中一点的应力状态由6个应力分量所确定， 同一点附近的变形状态由6个应变分量所确定。应力 与形变之间的物理关系可表示为:
第四章 应力和应变的关系
在应力分析中，仅从静力学的观点出发，引入了 9个应力分量 ij ，它们满足三个平衡微分（运动方程） 剪应力互等定理，由此得到应力张量对称的结论， 因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从 物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到 三个位移分量 ui 和6个独立的应变分量 ij 。这样我们 总共引入了十五个变量 ui , ij , ij ，它们满足的方 程只有九个:
• 本节使用热力学的原理推导能量形式的物 理方程（本构关系）。
外力作用——弹性体变形 ——变形过程外力作功 ——弹性体内的能量也
x
vI x
,
y
vI y
,
z
vI z
,
xy
vI xy
,
yz
vI yz
,
xz
vI xz
等温过程：利用热力学第二定律