e
① 求交线
a
c
N点的水平投影n位于
Δdef 的外面，说明点N位
f
b
于ΔDEF所确定的平面内
m●
e ，但不位于ΔDEF这个图
形内。
a
●
k
n
●
所以ΔABC和ΔDEF的
交线应为MK。
c
d
② 判别可见性
3. 直线与一般位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
后，故k1为不可见。
例2 求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别
其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
2. 一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。
1.求交线 2.判断平面的可见性
求交线
M
P
B
求解综合问题主要包括： 空间几何元素的定位问题（交点、交线） 空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤：
1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
• 1.5.1 距离与角度的度量
例12 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与 CD平行，并且与EF、GH均相交。
过EF作铅垂面P
以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
2 k 1
PH
1
步骤：
1．过EF作铅 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
2
示意图
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
利
1 (2)
用
重
影
点
Ⅱ
判
Ⅰ
别
Ⅲ
可
见
Ⅳ
性
3
示意图
(4)
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
示意图
两平面相交，判别可见性
3
1 (2 )
利
用
重
4
影
点
判
2
别
可
3 (4 )
见 性
1
综合性问题解法
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与
直线EF相交 。
综合性问题解法
➢分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F
H
E
➢作图
PV
1 m
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n
f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h QH
hk
例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
2. 两平面相互垂直
A
P
B
结论：两平面平行
[例3] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
[例4] 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
➢1. 4. 2 相交问题
• 直线与平面相交 • 两平面相交
1. 直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平面的 共有点。
f ( 2 ) 1
4
利
k
用
重
33
影
点
e
判
别
2
可 见
性
k
（(3）)
4
1
e
示意图
4. 两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求 两个共有点的问题, 因而可利用求一般 位置线面交点的方法找出交线上的两个 点，将其连线即为两平面的交线。
•两一般位置平面相交求交线 •判别可见性
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
K
m C
c PH
F N k
fb n
AL
a l
b
m k
c
f
l
a n
m kb a
f
l
c
n
判断平面的可见性
2. 判断平面的可见性
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 求两平面的交线
空间及投影分析：
⑴
MN并判别可见性。 平面ABC与DEF都为
a
b
m(n)
● e
f
c
正垂面，它们的交线为一 条正垂线，两平面正面投
影的交点即为交线的正面
d
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
要讨论的问题：
(1) 求直线与平面的交点。
●
●
(2) 判别两者之间的相互遮
挡关系，即判别可见性。
我们将分别讨论一般位置的直线与平 面或至少有一个处于特殊位置的情况。
2. 两平面相交
两平面相交其交线 为直线，交线是两平面 的共有线，同时交线上 的点都是两平面的共有 点。
要讨论的问题：
① 求两平面的交线 方法：⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 mn即为交线MN的水平投影。
作图 ① 求交线 ② 判别可见性
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在 FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在 后，故mc 可见。
⑶
b
投影分析
ΔDEF的正面投影积聚
f
m ●
d
k n'
作图
●
●
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
1 直线与特殊位置平面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
1. 直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
k b
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
2. 判断直线的可见性
b n
a
k
m c
n a
k b
m
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
b
n
空间及投影分析: 平面ABC是一铅垂
k
a
1(2) ●
●
m
c
X
m a
2
●
●
●
1
b
k
c n
还可通过重影 点判别可见性。
面，其水平投影积聚成 一条直线，该直线与 mn的交点即为K点的水 平投影。
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例10 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f
c
g
k
a
b
d
X
a d
f c
O k
① 求交点 ② 判别可见性
由水平投影可知， KN段在平面前，故正 面投影上kn为可见。
⑵ 直线为特殊位置
m
b
空间及投影分析: 直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c
●
1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
X
b
mk(n● 2) ●
c
a
1
① 求交点 ② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在
前，点Ⅱ位于MN上，在
e
d
c
X c
g h f
O g
h f
d e
➢分析
C
DE G
A
B F
H
所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与 交叉直线EF、GH相交。
➢作图过程
e
d
b
1
c PV k
g a
h
f 2
X
k
O
g
c
1a
h
f2
d
b
e
例13 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
➢分析
E
A
K F
过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K， 连接AK，AK即为所求。
d
b
e
a X c
b d e
d
b
ac
e
f g
g f