d2 d J 2 o (t ) C o (t ) K o (t ) K i (t ) dt dt
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第二章 数学模型
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。 电阻 i(t) R u(t)
u(t ) Ri(t )
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f 其中： K1 x1
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x1 x10 x2 x20
f , K2 x2
x1 x10 x2 x20
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第二章 数学模型
滑动线性化——切线法
y=f(x)
线性化增量增量方 程为： y y' =xtg
y0 A

y
y’
x
切线法是泰勒级数 法的特例。
第二章 数学模型
第二章 数学模型
○、数学模型的基本概念
一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化 三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数
五、系统方框图和信号流图
六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
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第二章 数学模型 ○、数学模型的基本概念
数学模型
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
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第二章 数学模型 弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
K C
fi (t ) fC (t ) f K (t )
d C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
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弹簧-阻尼系统
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第二章 数学模型 机械旋转系统
第二章 数学模型 阻尼
v1(t) x1(t) fC(t) v2(t) x2(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C dt
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i(t)
0
o(t) 0
J
TK(t)
K
TC(t)
柔性轴
齿轮
粘性液体
C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
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第二章 数学模型
TK (t ) K i (t ) o (t ) d TC (t ) C o (t ) dt d2 J 2 o (t ) TK (t ) TC (t ) dt
小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础；
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第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
R a +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
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du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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第二章 数学模型
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第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
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第二章 数学模型
d2 d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt
式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数， 而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、 弹簧）的数量。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
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第二章 数学模型
线性系统微分方程的一般形式
dn d n1 d xo (t ) a1 n1 xo (t ) an1 xo (t ) an xo (t ) dt n dt dt dm d m1 d b0 m xi (t ) b1 m1 xi (t ) bm1 xi (t ) bm xi (t ) dt dt dt
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第二章 数学模型
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移 到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统 就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点， 这时，系统所有的初始条件均为零。
对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程。
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标准化：右端输入，左端输出，导数降幂 排
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第二章 数学模型 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量
fm(t) x (t) v (t)
m
参考点
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d d2 f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) dt dt
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第二章 数学模型
非线性系统
用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定 的工作范围内成立。 为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性 系统简化为线性系统处理。
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பைடு நூலகம்22
第二章 数学模型
液体系统
设液体不可压缩， 通过节流阀的液流 是湍流。
节流阀 qi(t)
dH (t ) qi (t ) qo (t ) A dt q (t ) H (t ) o
H(t)
节流阀
qo(t)
液位系统
A：箱体截面积；
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第二章 数学模型
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
0 0
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第二章 数学模型
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
df ( x ) 或：y - y0 = y = Kx， 其中： K dx x x
0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量 方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
第二章 数学模型
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数；因为系统每增加一个独立储能 元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。
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C
fC(t)
第二章 数学模型 机械平移系统
fi(t)
m 0 xo(t) K fK(t) fC(t) m fi(t) fm(t) 0 xo(t) 静止（平衡）工作点作为 零点，以消除重力的影响
C
机械平移系统及其力学模型
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d2 f i (t ) f C (t ) f K (t ) m 2 xo (t ) dt f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt
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第二章 数学模型
f y f ( x10 , x20 ) x1
x1 x10 x2 x20
f ( x1 x10 ) x2
x1 x10 x2 x20
( x2 x20 )
增量方程： y y0 y K1x1 K2x2
静态方程： y0 f ( x10 , x20 )
非线性数学模型的线性化
泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
df ( x ) y f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
1 d 2 f ( x) 1 d 3 f ( x) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) 3 2! dx 2 x x 3! dx 3 x x
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第二章 数学模型
数学模型的形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、 差分方程 状态方程
复数域：传递函数、结构图
频率域：频率特性
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第二章 数学模型 一、控制系统的运动微分方程 建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程；
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第二章 数学模型 弹簧
x1(t) v1(t) fK(t) x2(t) v2(t) fK(t)