2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{y|y＝3x，x≥0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|1＜x≤3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1≤x＜3} 2．（5分）复数z满足z（4+i）＝3+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设函数f（x）＝ln（e+x）+ln（e﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，e）上是增函数B．奇函数，且在（0，e）上是减函数C．偶函数，且在（0，e）上是增函数D．偶函数，且在（0，e）上是减函数4．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，上顶点为C，若△ABC是底角为30°的等腰三角形，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）茎叶图如图1，为高三某班60名学生的化学考试成绩，算法框图如图2中输入的a1为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m＝29，n＝15B．m＝29，n＝16C．m＝15，n＝16D．m＝16，n＝15 6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞，|φ|＜），其图象相邻两个对称中心的距离为，且f（x+）＝f（﹣x），下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在[，π]上单调递增D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称7．（5分）在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sin A+2x sin B+（1﹣x2）sin C＝0无实数根，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形8．（5分）点M为直线5x+12y＝0上任一点，F1（﹣13，0），F2（13，0），则下列结论正确的是（）A．||MF1|﹣|MF2||＞24B．||MF1|﹣|MF2||＝24C．||MF1|﹣|MF2||＜24D．以上都有可能9．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，点P为直线x﹣2y﹣3＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线P A，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．（2，0）B．（3，0）C．（，﹣1）D．（，﹣）10．（5分）若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2C．D．211．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．412．（5分）设函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝lg（mx2﹣x+），若对任意x1∈（﹣∞，0]，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的最小值为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝5x﹣y的最小值为．14．（5分）已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB＝120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为．15．（5分）已知函数g（x）＝，若函数y＝g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是．16．（5分）如图，某地区有四个单位分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB＝2km，BC＝4km，四个单位商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N 分别在变BC，CD上运动，若∠MAN＝，则△AMN面积的最小值为km2．三、解答题（苯大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝1，且，，成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．（12分）为了考查某种药物预防H7N9禽流感的效果，某研究中心选了100只鸡做实验，统计如下（Ⅰ）能有多大的把握认为药物有效（Ⅱ）在服药后得禽流感的鸡中，有2只母鸡，3只公鸡，在这5只鸡中随机抽取3只再进行研究，求至少抽到1只母鸡的概率K2＝临界值表19．（12分）如图，四棱锥D﹣ABCM中，AD＝DM，且AD⊥DM，底面四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB＝2BC＝2CM＝4，平面AMD⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BD（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，四棱锥M﹣ADE的体积为？20．（12分）点P到直线y＝﹣3的距离比到点F（0，1）的距离大2（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程（Ⅱ）设点A（﹣4，4），过点B（4，5）的直线l交轨迹C于M，N两点，直线AM，AN 的斜率分别为k1，k2，求|k1﹣k2|的最小值．21．（12分）设函数f（x）＝m（x+1）2ln（x+1）+[f′（e﹣1）﹣3e]x，其中x＞﹣1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝0（Ⅰ）求f（x）的解析式（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程＝a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{y|y＝3x，x≥0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|1＜x≤3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1≤x＜3}【解答】解：∵A＝{x|log3x＜1}＝{x|0＜x＜3}，B＝{y|y＝3x，x≥0}＝{y|y≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选：D．2．（5分）复数z满足z（4+i）＝3+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z（4+i）＝3+i，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．3．（5分）设函数f（x）＝ln（e+x）+ln（e﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，e）上是增函数B．奇函数，且在（0，e）上是减函数C．偶函数，且在（0，e）上是增函数D．偶函数，且在（0，e）上是减函数【解答】解：由题意，f（﹣x）＝ln（e﹣x）+ln（e+x）＝f（x），函数是偶函数，在（0，e）上，f′（x）＝﹣＝＜0，函数单调递减，故选：D．4．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，上顶点为C，若△ABC是底角为30°的等腰三角形，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得∠CAB＝30°，则tan∠CAB＝＝，可得离心率为e＝＝＝，故选：D．5．（5分）茎叶图如图1，为高三某班60名学生的化学考试成绩，算法框图如图2中输入的a1为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m＝29，n＝15B．m＝29，n＝16C．m＝15，n＝16D．m＝16，n＝15【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，82，84，84，85，86，89，89，89，90，91，96，98，98，98，共1，6人，故n＝16，由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，49，50，51，52，53，53，56，58，59，59，59共15人，则在60名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有60﹣16﹣15＝29，故m＝29，故选：B．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞，|φ|＜），其图象相邻两个对称中心的距离为，且f（x+）＝f（﹣x），下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在[，π]上单调递增D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称【解答】解：由题意，T＝π＝，∴ω＝2，∵f（x+）＝f（﹣x），∴函数关于x＝对称，∴sin（+φ）＝±1，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+），对照选项，可得C正确．故选：C．7．（5分）在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sin A+2x sin B+（1﹣x2）sin C＝0无实数根，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【解答】解：由正弦定理，可得sin A＝，sin B＝，sin C＝，则关于x的方程（1+x2）sin A+2x sin B+（1﹣x2）sin C＝0，即为（1+x2）a+2xb+（1﹣x2）c＝0方程整理为（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，∴a2＞b2+c2，∴cos A＜0∴A为钝角，故选：B．8．（5分）点M为直线5x+12y＝0上任一点，F1（﹣13，0），F2（13，0），则下列结论正确的是（）A．||MF1|﹣|MF2||＞24B．||MF1|﹣|MF2||＝24C．||MF1|﹣|MF2||＜24D．以上都有可能【解答】解：若||MF1|﹣|MF2||＝24，则点M的轨迹是以F1（﹣13，0），F2（13，0）为焦点的双曲线，其方程为＝1．因为直线5x+12y＝0是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有||MF1|﹣|MF2||＜24．故选：C．9．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，点P为直线x﹣2y﹣3＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线P A，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．（2，0）B．（3，0）C．（，﹣1）D．（，﹣）【解答】解：因为P是直线x﹣2y﹣3＝0的任一点，所以设P（2m+3，m），因为圆x2+y2＝1的两条切线P A、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥P A，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（m+，），且半径的平方是r2＝，所以圆C的方程是（x﹣m﹣）2+（y﹣）2＝，①又x2+y2＝1，②，②﹣①得，（2m+3）x+my﹣1＝0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m+3）x+my﹣1＝0，即m（2x+y）+（3x﹣1）＝0，由得x＝，y＝﹣，所以直线AB恒过定点（，﹣），故选：D．10．（5分）若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2C．D．2【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．＝（，），＝（3，0）＝+＝（2，）．＝（，），∴＝（﹣1，），＝（，﹣）则•＝﹣＝﹣2．故选：B．11．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V＝V B﹣P AD+V B﹣PCD＝＝．故选：B．12．（5分）设函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝lg（mx2﹣x+），若对任意x1∈（﹣∞，0]，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的最小值为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．0【解答】解：∵f（x）＝e x﹣e﹣x在（﹣∞，0]为增函数，∴f（x）≤f（0）＝0，∵∃x2∈R，使f（x1）＝g（x2），∴g（x）＝lg（mx2﹣x+）的值域包含（﹣∞，0]，当m＝0时，g（x）＝lg（﹣x+），显然成立；当m≠0时，要使g（x）＝lg（mx2﹣x+）的值域包含（﹣∞，0]，则mx2﹣x+的最大值大于等于1，∴，解得﹣≤m＜0，综上，﹣≤m≤0，∴实数m的最小值﹣故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝5x﹣y的最小值为1．【解答】解：作出不等式组约束条件，表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由得B（，），设z＝F（x，y）＝5x﹣y，将直线l：z＝5x﹣y进行平移，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴z最小值＝F（，）＝1．故答案为：1．14．（5分）已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB＝120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为64π．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC＝V C﹣AOB＝＝，故R＝4，则球O的表面积为4πR2＝64π，故答案为：64π．15．（5分）已知函数g（x）＝，若函数y＝g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（，1]．【解答】解：当x＜0时，g（x）＝﹣x+1＞0，此时g（g（x））＝（﹣x+1）2﹣1＝x2﹣2x 当0≤x＜1时，g（x）＝x2﹣1＜0，此时g（g（x））＝﹣（x2﹣1）+1＝﹣x2+2当x≥1时，g（x）＝x2﹣1≥0，此时g（g（x））＝（x2﹣1）2﹣1＝x4﹣2x2，函数y＝g（g（x））＝．函数y＝g（g（x））的图象如下：结合图象可得若函数y＝g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（，1]故答案为：（]16．（5分）如图，某地区有四个单位分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB＝2km，BC＝4km，四个单位商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在变BC，CD上运动，若∠MAN＝，则△AMN面积的最小值为8﹣8km2．【解答】解：设∠BAM＝α，由题意可知，AM＝，AN＝，则S△AMN＝AM•AN sin＝×××＝，当α＝22.5°时，三角形AMN面积最小，最小值为（8﹣8）km2．故答案为：8﹣8．三、解答题（苯大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝1，且，，成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】（1）解：设数列{a n}的公差d≠0，a1＝1，且，，成等比数列．∴＝×，解得：＝a1•a9，∴（1+2d）2＝1×（1+8d），d≠0，解得d＝1．∴a n＝1+n﹣1＝n．（2）证明：＝＝．∴数列{}的前n项和T n＝+++…++＝＜．∴T n＜．18．（12分）为了考查某种药物预防H7N9禽流感的效果，某研究中心选了100只鸡做实验，统计如下（Ⅰ）能有多大的把握认为药物有效（Ⅱ）在服药后得禽流感的鸡中，有2只母鸡，3只公鸡，在这5只鸡中随机抽取3只再进行研究，求至少抽到1只母鸡的概率K2＝临界值表【解答】解：（Ⅰ）假设H0：服药与家禽得流感没有关系，则K2＝≈5.26＞5.024∵P（K2＞5.024）＝0.025，∴有97.5%的把握认为药物有效；（Ⅱ）记2只母鸡为a、b，3只公鸡为A、B、C，则从这5只中随机抽取3只的基本事件为：abA、abB、abC、aAB、aAC、aBC、bAB、bAC、bBC、ABC共10种，则至少抽到1只母鸡的基本事件是9种，故所求的概率为P＝0.9．19．（12分）如图，四棱锥D﹣ABCM中，AD＝DM，且AD⊥DM，底面四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB＝2BC＝2CM＝4，平面AMD⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BD（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，四棱锥M﹣ADE的体积为？【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，AB＝2BC＝2MC＝4，∴BM＝AM＝2，∴BM2+AM2＝AB2，即AM⊥BM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面DAM，又DA⊂平面DAM，∴AD⊥BD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BM⊥平面ADM，BM＝2，设，则E到平面ADM的距离d＝2λ，∵△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，AM＝2，∴AD＝DM＝2，∴V M﹣ADE＝V E﹣ADM＝＝，即，解得，∴E为BD的三等分点．20．（12分）点P到直线y＝﹣3的距离比到点F（0，1）的距离大2（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程（Ⅱ）设点A（﹣4，4），过点B（4，5）的直线l交轨迹C于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求|k1﹣k2|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵点P到直线y＝﹣3的距离比到点F（0，1）的距离大2，∴点P到直线y＝﹣1的距离等于到点F（0，1）的距离，∴点P的轨迹是以点F（0，1）为焦点的抛物线，方程为x2＝4y．（Ⅱ）设过点B的直线方程为y＝k（x﹣4）+5，M（x1，），N（x2，）．联立抛物线，得x2﹣4kx+16x﹣20＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝16k﹣20，∵k1＝，k2＝．∴|k1﹣k2|＝|x1﹣x2|＝＝≥1．∴当k＝2时，|k1﹣k2|取得最小值1．21．（12分）设函数f（x）＝m（x+1）2ln（x+1）+[f′（e﹣1）﹣3e]x，其中x＞﹣1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝0（Ⅰ）求f（x）的解析式（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2m（x+1）ln（x+1）+m（x+1）+f′（e﹣1）﹣3e，∴f′（e﹣1）＝2me+me+f′（e﹣1）﹣3e，故m＝1，曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程是：y＝0，∴f′（0）＝m+f′（e﹣1）﹣3e＝0，∴f′（e﹣1）＝3e﹣1，∴f（x）＝（x+1）2ln（x+1）﹣x；（Ⅱ）f（x）＝（x+1）2ln（x+1）﹣x，设g（x）＝（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），g′（x）＝2（x+1）ln（x+1）﹣x，（g′（x））′＝2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（0）＝0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0．∴f（x）≥x2；（Ⅲ）设h（x）＝（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣mx2，h′（x）＝2（x+1）ln（x+1）+x﹣2mx，（Ⅱ）中知（x+1）2ln（x+1）≥x2+x＝x（x+1），∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x﹣2mx，①当3﹣2m≥0即m≤时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，成立．②当3﹣2m＜0即m＞时，h′（x）＝2（x+1）ln（x+1）+（1﹣2m）x，h′′（x）＝2ln（x+1）+3﹣2m，令h′′（x）＝0，得x0＝﹣1＞0，当x∈[0，x0）时，h′（x）＜h′（0）＝0，∴h（x）在[0，x0）上单调递减，∴h（x）＜h（0）＝0，不成立．综上，m≤．[选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7＝0．又由ρ＝6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2＝9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2＝4，t1t2＝7，∴t1＞0，t2＞0，所以+＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程＝a的解集为空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）＝|x﹣2|+|2x+1|＝，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程＝a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．。