第16卷第3期山　东　矿　业　学　院　学　报Vol.16№3 1997年9月JOU RNAL OF SHANDONG MINING INSTITUTE Sep.1996有限元平面三角形网格的优化张均锋 刘桂斋 陈　刚(山东矿业学院) (武汉大学)摘　要　本文对有限元平面三角形网格优化的基础上,系统地提出了“结构优化”的概念,并对以往的网格光顺算法做了改进,提出了一种将结构优化和位置优化相结合的网格优化方法,弥补了以往的优化方法中对结构优化的忽视,使网格优化更加完善。

关键词　有限元;网格优化;结构优化;位置优化分类号　O242.21在利用电子计算机进行有限元分析过程中,可充分利用其容量大、速度快的特点,自动生成后序计算所需要的网格节点信息,而由于给定区域边界的不规则,一般来说这样生成的网格会有畸形(即瘦长或扁平形状),因此对生成的网格需作进一步的调整,使之尽量均匀化,即通常所称的网格优化。

在实践中,不管用哪种方法产生的初始网格,都可通过优化程序使网格形状得到进一步改善,而随着网格规模的扩大,优化在网格生成的全过程中所占的时间比已从原来的50%上升到大于98%〔1〕,可见这一步工作的重要程度。

平面三角形网格优化的目标是使网格在总体上接近等边三角形网格,而这又主要进行两种性质的优化:“结构优化”和“位置优化”。

前者调整网的拓扑结构,后者调整内部节点的位置。

网格的形状同它的结构有着密切的关系。

在讨论网格结构时,首先引进节点的“度”的概念。

在图论中,一个无向图中节点的度是共享该节点的边的数目。

在本文中重新定义节点的度为共享该节点的单元数目。

对于共享同一内部节点的正三角形单元来说,该节点的度为6,也就是说三角形网格内部节点的理想度为6。

为了使输出三角形网格中不包含钝角单元,因此限定节点的度≥5,又根据文献〔2〕的经验,三角形网格内部节点的度应该≤8。

用δ表示三角形网格内部节点的度,那么5≤δ≤8是较为合适的。

1　结构优化按照节点的度的不同,分别讨论各种结构的单元节点(包括边界点和内部节点):(1)度为1的节点　度为1的节点是边界节点,包含该节点的单元有两条边在边界上。

设收稿日期:1996—10—23张均峰:男,1970年生,讲师,中科院力学研究所,博士学位研究生。

以该节点为顶点的单元内角为α,作如图1所示的变换。

图1图2(2)度为2的节点　三角形网格中度为2的节点是边界节点,若以该节点为顶点的单元内角大于π2,作如图2所示的变换。

(3)度为3的节点　若三角形网格内部节点的度为3,那么以共享该节点的三个单元刚好拼成一个新的三角形,如图3所示。

图3图4(4)度为4的节点　度为4的节点在边界上可以不予考虑。

若内部节点的度为4,则要设法使它增至5。

如图4所示,节点N 的度为4,由共享N 的三角形围成的四边形为ABCD ,设α为以N 为顶点的内角中最大的一个,那么作如图4所示的变换。

(5)度大于8的节点　度大于8的节点无论在边界上还是内部,都可以不考虑出现大内角的情况,因为在后面的“位置优化”中会把大内角调整为小内角,所用的方法与图4所示的类似。

在以上的讨论中,度为5、6、7、8的内部节点都不需要进行结构优化,而其它的所有节点都要接受检查,有的还要进行优化处理。

边界节点由于不能位置优化,因而结构优化对它们显得尤为重要。

总的原则是张角过大则增加度,张角过小则减少度。

采用的方法是“相邻单元改变公共边”(见图4),所不同的是相邻单元的选择,如果张角过大,选择的相邻单元是与角α相对的单元(图2)。

2　位置优化位置优化被抽象成一个带约束的最优化问题。

设被优化网格有n 个内部节点,m 个单元,则设计向量D(x 1,y 1,x 2,y 2,…,x n ,y n ),问题被描述成: MinF (D )=-1n ∑m i =1α2i S ub .to :g i (D )≤0 (j =1,2,…,m )(1)276 山　东　矿　业　学　院　学　报 第16卷其中α是衡量单个三角形形状好坏的指标,其定义为〔3〕:设三角形ABC 的3个顶点坐标分别为(x A ,y A )、(x B ,y B )、(x C ,y C ),三角形面积为S ■ABC ,则 α=S ■ABC AB 2+ BC 2+ CA 2=0。

5＊x A y A 1x B y B 1x C y C 1(x A -x B )2+(y A -y B )2+(x B -x C )2+(y B -x C )2+(x C -x A )2+(y C -y A )2(2)α的值在三角形为等边三角形时达到最大αmax =0.1443,当三角形离等边三角形越远(如图5)时,α的值也就越小。

图5约束条件g j (D)定义为一个小正数δ与第j 个三角形的有向面积之差,即 g j (D )=δ-0.5＊x jA y jA 1x jB y jB 1x jC y jC 1(3)对于拓扑结构正确的网格,其单元有向面积必须大于零,δ代表所允许的有向面积的最小值。

这里采用可行方向法解决该优化问题,它是解决约束优化问题的一类基本方法,其迭代格式是:①从可行点D0开始,设已迭代到容许点D k ;②在Dk 处用某种方法确定一个下降可行方向P k ;③在Pk 方向上寻找新迭代点D k +1=D k +t k P k ,使得D k +1是可行点且F (D k +1)<F(D k ),置k =k +1,然后转②,直到某迭代点满足最优条件为止。

不同的可行方向法的主要区别在于确定下降可行方向的方法不同,还有在迭代点超出可行域之后的处理策略也有所不同。

我们在这里将Topkis _Veinott 可行方向法作一下改动,形成以下的迭代算法:(a )网格的初始坐标D0作为初始点,置k =0;(b )关于约束问题277第3期 张均锋等:有限元平面三角形网格的优化 (Ⅰ)如果不存在主动约束,则采用Fletcher _Reeves 共轭梯度法〔4〕确定下降方向,即 P k =- F (D k -1)+βP k -1(4)其中 β= F (D k -1) 2 F (D k -2) 2(Ⅱ)如果存在主动约束,则求解下列线性规划确定可行下降方向: min y s .t . F (Dk )T P k -y ≤0 g i (D k )T P k +y ≤-g i (D k ) i =1,2,…,m(5) -1≤P j ≤1 j =1,2, (2)最优解为〔P T k ,y k 〕T ;(c )若 y k ≤ε,则D k 是最优的点,否则转④(d )利用直线搜索技术确定 t =min {t g i (D k +tP k )=0,i =1,2,…,m }(6)同时求解 min F (D k +tP k )s .t .0≤t ≤ t(7)设其最优解为t k ,则D k +1=D k +t k P k ;(e )置k =k +1,转②。

判断一个约束是否为主动约束是依赖于一个小正数ε(一般取0.003),当g i (D k )<ε时,认为第i 个约束即为主动约束。

图6给出了按本文的方法进行优化后产生的网格。

其中图6-a 是按单元尺寸函数的等值线划分子域后,在子域内产生的均匀网格,图6-b 是经过优化处理后的网格。

由该例可见,用本文的方法优化处理后的网格质量是非常高的。

图6—a 各子域内部分别生成均匀网格,形状较差的单元出现在子域交界处图6-b 优化之后,生成有梯度的网格　278 山　东　矿　业　学　院　学　报 第16卷由于内部节点向边界靠近会把边界单元压扁从而使目标函数值增大,所以很少遇到违反约束的情况。

在多数情况下三角形内部节点的位置优化退化成一个无约束优化问题,因而有较快的收敛速度。

一般来说,经过结构优化和位置优化(有时要经过几次反复处理)之后,最终的三角形网格可以不包含钝角单元,这一优良的性质使该方法有较强的实用价值。

在下述情况下有时可能出现例外:(1)三角形单元的三个顶点都在边界上;(2)边界段定义极不合理(相邻边界段尺寸相差太大,或控制点的单元尺寸不合理)。

在遇到上述情况时,必须重新定义边界数据和控制点数据,否则在理论上可证明不可能产生高质量的网格。

参考文献1　Parthhasara thy V .N .,Stiniv as K odiy alam ,A Constrained Optimization A pproach to Finite Element M eshSmoo thing ,Finite Element A nalysis and Design ,V ol .9,1991,pp .309-320.2　K emp A .J .,P reto rius J .A .and Smit W .,T he Generation of a M esh for Resistance Calculation in Integ rated Cir -cuits ,I EEE T rans .Computer A ided Design ,Vol .7,1988,pp .1029-1037.3　Lo S .H .,A New M esh Generation Scheme for A rbitrary Planar Domains ,International Journal o f N umerical M ethods Engineering ,Vol .21,1985,pp .1403-1426.4　Vanderplaats G .N .,Numerical Optimization T echniques for Engineering Desing :with A pplicatio ns ,M cG raw -Hill ,New York ,1984.Optimization of Planar Triangular Meshesfor Finite Element MethcdZhang Junfeng Liu Guizhai Chen Gang(S handong Ins .of Min .and Tech .) (Wuhan Univ .)ABSTRAC T In this paper a new co ncept of “Structure Optimization ”is put forw ard to optimize planar triangular meshes ,and modification of old smoothing method is made .An optimization combining structure optimization w ith position optimization is developed ,and more attention is g iven to structure optimization in comparision w ith old optimization method .KEY WORDS finite element ;mesh optimization ;structure optimization ;position optimization 279第3期 张均锋等:有限元平面三角形网格的优化 。