收稿日期：2008-09-09基金项目：陕西省自然科学基金资助项目（6）；西安理工大学科学研究基金资助项目（）作者简介：魏锋涛（6），男，陕西合阳人，讲师，博士研究生，主要研究方向为结构优化设计。

工程中常常遇到期望一个设计方案的多项设计指标均达到最优的问题。

例如，设计一种机械传动装置，希望它的重量最轻、承载能力最高，同时它的性能又最可靠；设计一种高速凸轮机构，不仅要求体积最小，而且还要求其柔性误差最小，动力学性能最好等。

使多于一个设计指标达到最优的问题，就是多目标优化问题。

在多目标优化问题中，各分目标之间常常是互相矛盾的，一个分目标值的最优往往会导致另一个或几个分目标值的最劣。

要使几个分目标同时达到最优，一般来说是非常困难的，有时甚至是不可能的。

因此，用常规的方法求解多目标优化问题，得到的是问题的若干个有效解。

如何从这些有效解中选择出最有效解作为最优设计方案，是实际2010年工程图学学报2010第2期J OURNAL OF ENG INEERING GRAPHICSNo.2基于模糊理论的机械多目标优化设计魏锋涛，宋俐，李言，石坤，赵建峰（西安理工大学机械与精密仪器工程学院，陕西西安710048）摘要：多目标优化设计各分目标间的矛盾性和不可公度性增加了解决问题的难度，常规求解多目标优化设计方法一般只能求出问题的有效解，而得不到设计的最优结果。

该文以蜗杆传动多目标优化设计为例，采用改进的遗传算法求得若干有效解后，根据模糊理论中的相似优先比法从中确定出最有效解，即最优解，并可排出它们的优劣顺序。

关键词：机械设计；多目标优化设计；模糊理论；相似优先比法中图分类号：TH 122文献标识码：A文章编号：1003-0158(2010)02-0009-04Mechanical Multi-Object Optimization Design Based on Fuzzy TheoryWEI Feng-tao,SONG Li,LI Yan,SHI Kun,ZHAO Jian-feng(School of Mechanical and Instrumental Engineering ，Xi ’an University of Technology ,Xi ’an Shaanxi 710048，China )Abstr act:It is difficult to solve multi-objective optimization for inconsistency and incomparability among each single object.Multi-objective mathematical model of worm transmission is established.Effective solutions are obtained by general optimal arithmetic,such as improved genetic algorithm.The optimal solution is chosen from these available effective solutions and then ranked by the similarity priority ratio method of fuzzy theory .K ey words:machine design;multi-objective optimization design;fuzzy theory;similarity priority ratio method200E 108102-210710197-应用必须解决的问题[1]。

文中采用改进遗传算法求得机械多目标优化问题的理想解和若干有效解，然后根据模糊数学中的相似优先比法确定最有效解，即问题的最优设计方案，并可同时排列出有效解的优劣次序。

1模糊相似优先比法应用模糊数学中的相似优先比法[2]确定多目标最优解的基本思想是：首先求出各单目标的最优解，以此构成多目标的理想解；再根据相似优先比法找出各种有效解与理想解的相似（或接近）的程度；与理想解相似（或接近）的程度最高的有效解即为多目标优化的最优解。

1.1建立相似优先矩阵（1）由公式*(1,2;1,2,3)d f f x j r jr jj r===（）计算海明距离，其中*j f 为理想解*F 的第j 个目标值，j r f x （）为有效解r F 的第j 个目标值。

（2）由下式计算相似优先比***(1,2;1,2,3)j j t jtjst js jt j j sj j tf f x d r d d f f x f f x j s t ==++==（）（）（）、（1）显然有01jst r ≤≤。

若0.51jst r <≤，则j s f x （）比j t f x （）优先；若00.5jst r <≤，则j t f x （）比j s f x （）优先；若0.5jst r =,则无法确定。

1j st jts r r +=，同时假定1jss jtt r r ==。

因为，在同一样品中比较优先，而又必须选择其一，故只能选择jss 自己和jst 自己。

（3）建立每一个目标的相似优先矩阵j R 以相似优先比jst r 为元素组成的矩阵j R 叫相似优先矩阵，其中111212122212[](1,2,,;1,2,,)j j j q j j j q j jst q qjq jq j qqr r r r r r r r r r j m s t q ×====""###"""、R （2）1.2作j (=1,2)R j 的λ截矩阵，确定优先序号和最优解（1）作λ截矩阵，满足max max (1,2;1,2,3)jst r j s t λ==≤、。

（2）确定一个目标各有效解的绝对优先序号(1,2;1,2,3)j r N j r ==。

序号越小的行越接近理想解。

根据各行序号，便知一个目标中的各有效解接近理想解的绝对优先程度。

（3）确定所有目标的绝对优先序号，得出最优解。

对所有(1,2)j j =R 作完jr N 后，按每行所得的序号(1,2;1,2,3)jr N j r ==，按行求和，便得所有目标的绝对优先序号(1,2,3)r N r =，序号和最小的一个（即min r N ）所对应的有效解便是多目标的最优解。

2机械多目标优化设计实例及计算过程2.1蜗杆传动多目标优化设计数学模型[3-4]2.1.1选择设计变量选择蜗杆头数1z 、模数m 和蜗杆特性系数q 为蜗杆传动的设计变量，即{}{}TT1231X x x x z m q ==2.1.2建立目标函数根据蜗杆传动的工作特点、结构要求和生产成本，将蜗轮齿冠体积最小、传动效率最高、中心距最小作为该优化设计的目标函数。

（1）蜗轮齿冠体积最小为了降低生产成本，节省较贵重的有色金属材料，以蜗轮有色合金齿冠体积最小为优化设计的目标函数之一，即312211132223111min ()(2)46[(2)( 6.4)]246(2)[(2)( 6.4)]2f X V m q iz iz z x x ix ix x π==+×π++=++×+++（3）式中i 为传动比；m 为模数；q 为蜗杆特性系数；当蜗杆头数11z =或12z =时，0.75=；当蜗杆头数13z =或14z =时，0.67=。

（2）蜗杆传动效率最高分析蜗杆传动的工作情况可知，其总效率主要取决于啮合摩擦损耗效率1η，而啮合面间的相10工程图学学报2010年对滑动速度s v 则对1η影响很大，成反比关系。

为了提高蜗杆传动效率，就应减小相对滑动速度s v ，即22221212131min ()1910019100s mn x n f X v q z x x ==+=+（4）式中1n 为蜗杆转速。

（3）中心距最小为了使蜗杆传动结构更凑紧，在满足使用要求的前提下，应使中心距趋于最小，即31231min ()0.5()0.5()f X a m q iz x x ix ==+=+（5）2.1.3确定约束条件蜗杆传动的优化设计应满足下列限制条件：（1）蜗杆头数1z 的限制对于动力传动，一般取12~4z =，即11()40g X x =≥（6）21()20g X x =≥（7）（2）蜗轮齿数2z 的限制常取2130~80z iz ==，即31()800g X ix =≥（8）41()300g X ix ==≥（9）（3）模数m 的限制常取218m ≤≤，即52()180g X x =≥（10）62()20g X x =≥（11）（4）蜗杆特性系数q 的限制常取816q ≤≤，即73()160g X x =≥（12）83()80g X x =≥（13）（5）蜗轮齿面接触强度的限制由3222520()[]H m q KT z σ≥得3292321520()()0[]H g X x x KT i x σ=≥（14）式中K 为载荷系数。

（6）蜗轮齿根弯曲强度的限制由32222[]cos F F KT Y m q z σλ≥可知，其中，21z iz =和22211cos 1tg qz q λλ==++，将这些关系代入上式得32210232212211()0[]F F KT Y g X x xi xxσ=+≥（15）式中2F Y 为齿形系数；K 为载荷系数。

（7）蜗杆刚度的限制蜗杆工作时最大挠度不应大于50m ，即221134850t r F F m y L EJ+′=≤（16）其中，跨度210.90.9L d miz ′==，惯性矩44410.050.05(2.4)f J d m q = ，121122t T T F d imq η==，02212122tg20tg20r T T F d iz m==，将这些关系代入上式整理得15422012112323()10987( 2.4)2[()tg 20]0x g X x x T x η=+≥（17）2.1.4数学模型综上所述，蜗杆传动多目标优化设计的数学模型表示为T123min (){(),(),()}F X f X f X f X =3X R （18）s.t.()0(1,2,,11)i g X i ="≥2.2设计实例某减速器中的蜗杆传动，输入功率10kW P =，蜗杆转速11460r min n =，两班工作，载荷平稳，传动比20i =，蜗轮齿冠材料为ZCuSn 10P1。

最优地设计该蜗杆传动，使蜗杆传动在满足承载能力及强度要求条件下，蜗轮齿冠体积最小、传动效率最高和中心距最小。