2017-2018学年江西航空职业技术学院高考数学单招试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．函数的定义域是．2．x＞1是的条件．3．方程log3（1+2•3x）=x+1的解x=．4．已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．5．已知函数f（x）=，则f（5）=．6．若a＞3，则a+的最小值是．7．若，则sinα+cosα的值为．8．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=3x，则f（﹣2）=．9．已知A，B，C是△ABC的内角，并且有sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，则C=．10．若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是．11．函数在[1，2]上单调递减，则a的取值组成的集合是．12．若tan，则cos（A+B+C）=．13．对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m的值是．14．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．已知集合M={x∈Z|x2≤1}，N={x∈R|﹣1＜x＜2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{1}16．A，B是三角形ABC的两个内角，则“sinA＞sinB”是A＞B的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要17．已知函数在区间D上的反函数是它本身，则D可以是（）A．〔﹣l，l〕 B．〔0，1〕C．（0，）D．〔，1〕18．a＞0，a≠1，函数f（x）=在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞1三、简答题（12+14+14+16+18=74分）19．已知P：“函数在（﹣1，+∞）上单调递增．”Q：“幂函数在（0，+∞）上单调递减”．（1）若P和Q同时为真，求实数m的取值范围；（2）若P和Q有且只有一个真，求实数m的取值范围．20．已知函数，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，，求AC边的长．21．已知定义在区间[﹣，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x≥时，函数y=sinx．（1）求f（﹣），f（﹣）的值；（2）求y=f（x）的表达式（3）若关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M a，求M a的所有可能取值及相应a的取值范围．22．我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x 为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．23．已知函数f（x）=，（x≠0）（a≠0）．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当a＞0时，函数在（0，）上单调递减，在上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式；（3）若函数f（x）在区间内有反函数，试求出实数a的取值范围．2016年江西航空职业技术学院高考数学单招试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．函数的定义域是[0，+∞）．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得1﹣≥0，即≤，由此解得x的范围，即得函数的定义域．【解答】解：由函数可得，1﹣≥0，即≤，解得x≥0，故函数的定义域是[0，+∞），故答案为[0，+∞）．2．x＞1是的充分不必要条件条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由充分条件与必要条件的概念即可判断．【解答】解：∵x＞1⇒＜1成立，∴充分性成立；而＜1⇔＜0⇔x＜0或x＞1，即＜1不能推出x＞1，∴必要性不成立；∴x＞1是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．方程log3（1+2•3x）=x+1的解x=．【考点】指数函数与对数函数的关系．【分析】由方程可得1+2•3x=3x+1，化简可得3x=1，由此求得方程的解．【解答】解：由方程可得1+2•3x=3x+1，化简可得3x=1，故x=0，故答案为0．4．已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用已知条件求出α的一个值，然后求出表达式的值．【解答】解：因为α是第二象限的角，tanα=﹣，所以α=2kπ+，k∈Z，所以sin（90°+α）=cosα=cos=﹣．故答案为：﹣．5．已知函数f（x）=，则f（5）=8．【考点】函数的周期性；有理数指数幂的化简求值．【分析】此是分段函数求值，当x≥4时，所给表达式是一递推关系，其步长为1，故可由此关系逐步转化求f（5）的值．【解答】解：∵当x≥4时，f（x）=f（x﹣1）∴f（5）=f（4）=f（3）而当x＜4时，f（x）=2x∴f（5）=f（3）=23=8故答案为：8．6．若a＞3，则a+的最小值是7．【考点】基本不等式．【分析】依题意将a+化为（a﹣3）++3能用基本不等式即可．【解答】解：∵a＞3，∴a+=（a﹣3）++3≥4+3=7（当且仅当a=5时取“=”）．故答案为：7．7．若，则sinα+cosα的值为．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用诱导公式与正弦的二倍角公式可将条件转化为sin（α+）=，从而可得sinα+cosα的值．【解答】解：∵===﹣2cos（﹣α）=﹣2sin（+α）=﹣，∴sin（α+）=，∴sinα+cosα=sin（α+）=×=．故答案为：．8．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=3x，则f（﹣2）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为奇函数且x＞0时，f（x）=3x，可得f（﹣2）=﹣f（2），代入可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数且x＞0时，f（x）=3x，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣32=﹣9．故答案为：﹣9．9．已知A，B，C是△ABC的内角，并且有sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，则C=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】先利用余弦定理表示出cosC，再利用正弦定理化简已知的等式，变形后代入表示出的cosC中，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数．【解答】解：由正弦定理化简已知的等式得：a2+b2=c2+ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，则C=．故答案为：10．若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是a≤3．【考点】绝对值不等式．【分析】求出绝对值的表达式的最小值，即可求出a取值范围．【解答】解：因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是数轴上的点到﹣1，与到2的距离之和，显然最小值为3，所以a的取值范围是：a≤3．故答案为：a≤3．11．函数在[1，2]上单调递减，则a的取值组成的集合是{4}．【考点】二次函数的性质．【分析】令f（x）=x2﹣ax+4，根据二次函数的性质可得且f（2）=8﹣2a≥0，可求【解答】解：令f（x）=x2﹣ax+4∵函数在[1，2]上单调递减，且f（2）=8﹣2a≥0∴a=4则a的取值组成的集合{4}故答案为：{4}12．若tan，则cos（A+B+C）=﹣1．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】将已知条件中的切化弦，逆用两角和的余弦整理可得cos（++）=0，再利用二倍角的余弦即可求得cos（A+B+C）的值．【解答】解：∵tan+tan•tan+tan•tan=1，而tan+tan•tan=，1﹣tan•tan==，∴sin sin=cos cos，即cos cos﹣sin sin=0，∴cos（++）=0，∴cos（A+B+C）=2﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．13．对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m的值是4．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由新定义的运算x*y=ax+by+cxy，及1*2=3，2*3=4，构造方程组，可得到参数a，b，c之间的关系．又由有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值【解答】解：由题意，1*2=a+2b+2c=3①，2*3=2a+3b+6c=4②①×2﹣②得b﹣2c=2，即b=2c+2，代入①得a=﹣1﹣6c又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，a+cm=1且bm=0∵m为非零实数，∴b=0=2+2c∴c=﹣1．∴（﹣1﹣6c）+cm=1．∴﹣1+6﹣m=1．∴m=4．m的值为4．故答案为414．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，因此若函数f（x）=为闭函数，则可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）．因此方程k=x﹣在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b．最后采用换元法，讨论二次函数的单调性，可得f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．【解答】解：∵k是常数，函数y=是定义在[，+∞）上的增函数，∴函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，因此，若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示）∴，可得方程k=x﹣在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b令t=，得x=，设函数F（x）═x﹣=g（t），（t≥0）即g（t）=t2﹣t﹣，在t∈[0，1]时，g（t）为减函数﹣1≤g（t）≤；在t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数g（t）≥﹣1；∴当时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x﹣，当f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．故答案为：二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．已知集合M={x∈Z|x2≤1}，N={x∈R|﹣1＜x＜2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，M={﹣1，0，1}，N={x∈R|﹣1＜x＜2}，进而求其交集可得答案．【解答】解：M={x∈Z|x2≤1}={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，N={x∈R|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={0，1}．故选B．16．A，B是三角形ABC的两个内角，则“sinA＞sinB”是A＞B的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由正弦定理知=2R，故sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，故可得结论．【解答】解：∵A＞B，∴a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB反之，由正弦定理知=2R，∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．∴“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件故选C．17．已知函数在区间D上的反函数是它本身，则D可以是（）A．〔﹣l，l〕 B．〔0，1〕C．（0，）D．〔，1〕【考点】反函数．【分析】由题设条件，可以先求出函数的定义域，再观察四个选项，那一个的范围包含在所求的集合内，则其必为D．【解答】解：由题意0≤1﹣x2，故得﹣1≤x≤1，且函数的值域为[0，1]又函数在区间D上的反函数是其本身，故函数必为一单调函数且自变量与函数值取值范围相同由此知M=（0，1）故选B．18．a＞0，a≠1，函数f（x）=在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】对a分a＞1与0＜a＜1，利用复合函数的单调性结合函数g（x）=|ax2﹣x|的图象列出符合条件的不等式组，解之即可．【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）=|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）=在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a＜；故选A．三、简答题（12+14+14+16+18=74分）19．已知P：“函数在（﹣1，+∞）上单调递增．”Q：“幂函数在（0，+∞）上单调递减”．（1）若P和Q同时为真，求实数m的取值范围；（2）若P和Q有且只有一个真，求实数m的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】（1）由题设知P：m＜1，Q：﹣1＜m＜3，由此能求出当P和Q同时为真时，实数m的取值范围．（2）当P和Q有且仅有一个真时，P真Q假，或P假Q真，由此能求了若P和Q有且只有一个真时，实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵P：“函数在（﹣1，+∞）上单调递增．”Q：“幂函数在（0，+∞）上单调递减”．∴P：m＜1，Q：﹣1＜m＜3，∴当P和Q同时为真时，实数m的取值范围是：﹣1＜m＜1．（2）当P和Q有且仅有一个真时，P真Q假，或P假Q真，当P真Q假时，，解得实数m的取值范围是：m≤﹣1．当P假Q真时时，，解得实数m的取值范围是：1≤m≤3．综上所述，若P和Q有且只有一个真，实数m的取值范围（﹣∞，﹣1]∪[1，3]．20．已知函数，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，，求AC边的长．【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）把f（x）利用诱导公式，二倍角的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数值化简得到一个角的正弦函数，利用周期的公式求出周期即可；（2）根据f（A）=1利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinA=cosA即A=，然后根据正弦定理即可求出AC的值．【解答】解：（1）由得到：f（x）=cos2x+sinxcosx=+=（cos2x+sin2x）+=，∴T==π；（2）∵f（A）=cos2A+sinAcosA=1移项得：sinAcosA=1﹣cos2A=sin2A，因为A为锐角，所以sinA≠0∴sinA=cosA，则根据正弦定理得：=即=，所以AC==．21．已知定义在区间[﹣，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x≥时，函数y=sinx．（1）求f（﹣），f（﹣）的值；（2）求y=f（x）的表达式（3）若关于x 的方程f （x ）=a 有解，那么将方程在a 取某一确定值时所求得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能取值及相应a 的取值范围． 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由题意可求f （﹣）=f （π）=sin π=0，f （﹣）=f （）=sin=．（2）设﹣，则，由f （x ）=f （）=sin （）=cosx ，即可解得分段函数的解析式f （x ）=．（3）作函数f （x ）的图象，若f （x ）=a 有解，则a ∈[0，1]，分情况讨论即可得解． 【解答】解：（1）f （﹣）=f （π）=sin π=0， f （﹣）=f （）=sin=…3分（2）设﹣，则，∴f （x ）=f （）=sin （）=cosx ，∴f （x ）=…6分（3）作函数f （x ）的图象如下：显然，若f （x ）=a 有解，则a ∈[0，1]． ①若0，f （x ）=a 有两解，M a =；②若a=，f （x ）=a 有三解，M a =；③若＜a ＜1，f （x ）=a 有四解，M a =π；④若a=1，f （x ）=a 有两解，M a =；综上所述，当0≤a ＜或a=1时，f （x ）=a 有两解，M a =；当a=时，f （x ）=a 有三解，M a =；当时，f （x ）=a 有四解，M a =π…12分22．我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x 为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．【考点】指数函数综合题．【分析】第一问能根据图象求出k、b的值．第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战．【解答】解：（1）由图可知，解得（2）当P=Q时，得解得：令，∵x≥9，∴m∈（0，]，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．23．已知函数f（x）=，（x≠0）（a≠0）．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当a＞0时，函数在（0，）上单调递减，在上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式；（3）若函数f（x）在区间内有反函数，试求出实数a的取值范围．【考点】反函数；函数单调性的性质．【分析】（1）讨论a，分为a＜0，0＜a≤1，a＞1，从而得到函数的单调区间；（2）根据（1）中a＞1时的单调区间可知=且a＞1，解得a的值；（3）欲使函数f（x）在区间内有反函数即在该区间上单调，讨论a（a﹣1）的正负可求出所求．【解答】解：（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣，0）及（0，），②当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）及（0，+∞），③当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣）及（，+∞）．（2）由题设及（1）中③知=且a＞1，解得a=3，因此函数解析式为f（x）=（x≠0）．（3）1#当a（a﹣1）＞0即a＜0或a＞1时由图象知≥解得a∈（﹣∞，]∪[，+∞）2#当a=1时，函数为正比例函数，故在区间内存在反函数，所以a=1成立．3#当a（a﹣1）＜0，得到＜，从而得a∈（，）综上a∈∈（﹣∞，]∪（，）∪{1}∪[，+∞）2016年6月29日。