强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律
能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 E 3Nk BT 1 mol晶体的定容比热 CV ,m 3Nk B 3N 0 k B 但实际上，低温下比热随温度的降低而降低。
23 23 3 6.02 10 1.38 10 24.9 热膨胀、传导和晶格振动的非谐效应密切相关。
2
绝热近似
讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置 上固定不动的，但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我 们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。 它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。
其中K， 为连续介质的弹性模量和介质密度
—— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波
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—— 晶格可以看成是连续介质
长波极限
格波 长波极限情况 (q 0, a) ——声学波（accoustic wave）
相邻两个原子之间的位相差 q(n 1)a qna qa 0
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N N h的取值范围 h 2 2
q取值
相邻两个波矢间隔（每一个q的取值所占的空间） q
q的分布密度
q
L＝Na ——晶体链的长度 第一Brillouin区的尺度
Na L 2 2
2 2 Na L
2 / a
(2 / a) q N
第一Brillouin区的振动模式数 得到结论
绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的 影响。 —— 将电子的运动和离子的运动分开
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
3
一维单原子链运动
一维单原子链晶格周期为a，原子质量m，相对各自平衡位置的 位移分别为un 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U(a) 发生相对位移 = un–un-1后，相互作用势能U(r)= U(a+)
q1
q2
——其它区域不能提供新的物理内容
1 2 sin aq m 2
-/a
0
q
/a
2/a
频率极大值和极小值 min 0, max 2 / m 只有频率在 0 2 / m 之间的格波才能在晶体中传播，其它 频率的格波被强烈衰减（低频滤波）
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长波极限
w/(4m)
1 sin aq m 2
w/(4/m)0
First Brillouin
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
解得色散关系——波的频率-波矢关系 真空中光波 = cq，空气中声波 = vq 而格波的色散关系是非线性的。
-/a
0
q
/a
6
2/a
格波物理意义
格波 i t naq u Ae 简谐近似下，格波是简谐平面波 n 格波意义： 1. 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 2. 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
un Ae
i t naq

波矢表示波数，方向表示波的传播方向。q取不同的值，相邻两原 子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同 不同原子间位相差： n ' aq naq (n ' n)aq 相邻原子的位相差： (n 1)aq naq aq
8
不同波长的格波
如果
q q
相邻两个原子振动的位相相反，恢复力和频率都达到最大值
0
d 格波的群速 vg dq q
a
在Brillouin区边界处，相当于受到Bragg散射，形成驻波
用到的两个定义：波速（相速），群速
vw

q
d vg dq
13
Born-Karman边界条件
周期性边界条件（Born-Karman边界条件） 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动 形式都一样 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中 间原子的运动方程来描述 为了解决这一矛盾，采用周期边界条件——Born-Karman边界条件 （1） N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特 点 （2） N很大，原子运动 近似为直线运动 （ 3 ）处理问题时要考虑 到环链的循环性
14
波矢的分立性
设第n个原子的位移为 un 再增加N个原子之后，第N+n个原 子的位移uN+n，则
uN n un
Aei[t ( N n ) aq ] Aei[t naq ] e
iNaq
2 h 1 q Na

——h为整数 波矢的取值范围

a
q

a
h — N个整数值 波矢q —取N个不同的分立值 — 第一布里渊区包含N个振动模式
晶格振动模式数目=晶格原胞数目
=自由度数目
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练习 1.以一维单原子链为例，说明晶格振动模式 数等于晶体的自由度数。
练习2.引入Born-Karman边界条件的理由是什么。
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思考：引入Born-Karman边界条件的理由是什么？
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格波的波形图（格波意义2）
向上的箭头代表原子沿X轴正向振动
向下的箭头代表原子沿X轴负向振动
q的物理意义： 波的传播方向（即沿q的方向）上， naq表示相位差
7
格波物理意义
格波 ——格波解 晶体中所有原子共同参与的一种频率相同、振幅相等的振动，不 同原子间存在位相差，每一确定q的解代表波长为2/|q|的集体运 动，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。 格波波长： 2 / q 格波波矢： q 2 n
2 l a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态 例如 波长
2 5 2 2 q1 , q2 , q2 q1 2a 1 2a 2 a
1 4a, 2 a
5
4
格波1(Red)相邻原子位相差
aq1 / 2 格波2(Green)相邻原子位相差 aq2 2 / 2
2 dU 1 d U 2 U (r ) U (a ) 2 High items 2 dr a dr a
考虑到平衡条件
n-2
n-1
n
n+1
n+2
dU U (a) constant , 0 dr a
1 d 2U 2 1 2 U 2 2 dr a 2
9
第一Brillouin区

1.0
——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同。 相邻原子的位相差取 aq
q
First Brillouin
0.8
波矢取
/(4m)
a a ——第一Brillouin区
1/2
——只研究第一Brillouin晶格振动问题 色散关系：

0.6 0.4 0.2 0.0
第n个原子的运动方程
2 un m 2 n 1 n 1 2n t
a
n-2 n-1
a
n


n+1
n+2
：力常数
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
5
运动方程的解
试解（格波方程） 带入运动方程
m Ae
2
un Ae naq — 第n个原子振动位相因子
i t naq
i t naq
Ae

2 un m 2 n 1 n 1 2n t
i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
2 Ae
i t naq

化简得到
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
此时，一个波长内包含许多原子，晶格可看作连续介质
波长 2 q
格波的群速
d vq , when q 0 vg dq vq , when q 0
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短波极限
(q ) a
格波短波极限情况
当 q→/a 时 max 2 / m
波长
2 2a q
1/2
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
格波 长波极限情况 (q 0, a)

m q
当 q→0 时 a
-/a
0 q
/a
此时，一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的
vElastic q
vq a
K a m m/a
色散关系一致

弹性波速（相速）为
a
n-2 n-1
a
n


势能展式中保留到二阶——简谐近似
n+1
n+2
d 2U 2 dr a
：力常数
dU ? f dr 4
一维单原子链运动
只考虑最近邻原子间的相互作用:
第n个原子受力
n-2
n-1
n
n+1
n+2
f n n1 n1 2n
§3 晶格振动和热学性质
3 Crystal Vibrations and Thermal Properites