任意角和弧度制__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。

与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角：象限角 象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限 (二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是rad 读作弧度如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad 周角=2πrad 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180oo rC 2rad1rad r l=2ro AA B角度制=弧度制*180o /π2π=360o弧度数α与弧长L 与半径R 的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：221R S α=弧长公式：180rn l π=，扇形面积公式：3602R n S π=扇（初中）2 弧度制与角度制的换算：因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有radrad radrad 01745.018011802360≈===πππ把上面的关系反过来写1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=rad rad π360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.度 0° 30°45°60°90°120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度6π4π 3π 2π π32 π43 π65 ππ23 2π类型一：角的概念问题1. 终边相同的角的表示例1 若角α是第三象限的角，则角α-的终边在第______象限. 答案：二.解析：因为α是第三象限的角，故o oo o 360270<<360180,k k k α-⋅---⋅-∈Z ，则o 360k ⋅o oo 270<<360180,k k α--⋅-∈Z ，故α-的终边在第二象限.练习：与o610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：oo360250(k k ⋅+∈Z ）】2. 象限角的表示例2 已知角α是第二象限角，问（1）角2α是第几象限的角？（2）角2α终边的位置. 思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k 值来确定象限角.解析：（1）因为α是第二象限的角，故o oo o36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，故︒︒︒︒+⋅<<-⋅45180245180k k αo 180k ⋅o oo45<<18090(2k k α+⋅+∈Z ).当k 为偶数时，2α在第一象限；当k 为奇数时，2α在第三象限，故2α为第一或第三象限角.（2）由oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，得o o o 2360180<2<2360k k α⋅+⋅+ o 360(k ∈Z )，故角2α终边在下半平面.点评：已知α所在象限，求(n nα∈N *)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.结论：类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化例3 把下列各角的度数化为弧度数： 解 因为1801π=rad ，所以练习：把下列各角的弧度数化为度数： 解 因为 π rad ＝180，所以例4 （1）设o 750α=，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设35βπ=，用角度制表示β，并在o 720-～o0内找出与它有相同终边的所有角. 导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？解析：（1）257502218066ππαππ=⨯==⨯+，故α在第一象限. （2）o o 31803()10855πππ=⨯=，与它终边相同的角可表示为o o 360180(k k ⋅+∈Z ），由o 720-≤o o o 360180<0k ⋅+，得332<1010k --≤，故2k =-或1k =-，即在o 720-～o 0范围内与β有相同终边的所有角是o612-和o252-.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在[0,2]π内找到与该角终边相同的角.练习：（1）设o570α=-，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设73βπ=，用角度制表示β，并在o 720-～o 0内找出与它有相同终边的所有角. 解析：（1）195(570)2218066ππαππ=⨯-=-=-⨯+，故α在第二象限. （2）o o 71807()()42033πππ-=⨯-=-，故在o 720-～o 0范围内与β有相同终边的角是o 60-.α第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2α 第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限2.求弧长与扇形面积例5 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R .（1）若3πα=，10R =cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值(>0)C C ，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值. 导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C 表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？解析：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则10(3l π=cm )， 故110110232S S S π∆=-=⨯⨯-⨯弓扇2310sin 50()(332ππ⨯=-cm 2). （2）解法一：由扇形周长2C R l =+，得2l C R =-，故211=(2)22S Rl R C R R =-=-扇221()2416C C RC R +=--+.当4C R =时，S 扇有最大值且最大值为216C .此时22Cl C R =-=，故422l C R Cα==⋅=.故当2α=时，该扇形有最大面积. 解法二：由扇形周长22C R l R R α=+=+，得2CR a=+，故211=22S R αα=⋅扇2()2C α=+22221142442164C C C ααααα⋅=⋅++++≤， 当且仅当24α=，即2a =时，扇形面积最大为216C .点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.练习：设扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.解：1(82)42S r r =-=，即2440r r -+=，解得2r =，故4l =，从而422l r α===. 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° 答案：B2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 答案：D4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________． 答案：{}372,12,348,708--5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 答案：D6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C答案：B7、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα答案：D8、若α是第四象限的角，则α- 180是 ．A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角答案：C9、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________． 答案：191与169-；10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．答案：{}Z k k ∈+⋅=,135360|αα_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 1rad ＝(180π)°，则α＝－3rad ＝－(540π)°≈－171.9°，∴α是第三象限角．2．与－13π3终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫5π3C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋5π3，k ∈Z[答案] D[解析] 与－13π3终边相同的角α＝2k π－13π3，k ∈Z ，∴α＝(2k －6)π＋6π－13π3＝(2k －6)π＋5π3，(k ∈Z )．3．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．∅B ．{α|0≤α≤π|C ．{α|－4≤α≤4|D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} [答案] D[解析] k ≤－2或k ≥1时A ∩B ＝∅；k ＝－1时A ∩B ＝[－4，－π]；k ＝0时，A ∩B ＝[0，π]；故A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( ) A ．1sin1B ．1sin2C ．2sin1D ．2sin2[答案] C[解析] 所在圆的半径为r ＝1sin1，弧长为2×1sin1＝2sin1. 5．某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4 cm ，那么该扇形的圆心角等于( ) A ．2° B ．2 C ．4° D ．4[答案] B[解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝412lR ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝2.∴该扇形圆心角α＝lr ＝2(rad)，故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( ) A ．175π36B ．125π18C ．75π18D ．34π9[答案] A[解析] 40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6，∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36.二、填空题7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________． [答案]180＋π360、180－π360[解析] 设两角为α、β则⎩⎪⎨⎪⎧α－β＝π180α＋β＝1，∴α＝180＋π360、β＝180－π360.8．正n 边形的一个内角的弧度数等于__________． [答案](n －2)nπ [解析] ∵正n 边形的内角和为(n －2)π， ∴一个内角的弧度数是(n －2)πn .三、解答题9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－7π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角． [解析] (1)∵－570°＝－570π180＝－19π6＝－4π＋5π6，∴－570°与5π6终边相同，5π6在第二象限， ∴α1在第二象限．∵750°＝750π180＝25π6＝4π＋π6，∴750°与π6终边相同，π6在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝3π5＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k ·360°，k ∈Z ，∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.能力提升一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 ____弧度．( ) A ．π B ．π2C ．π3D ．π4[答案] C[解析] ∵圆心角所对的弦长等于半径， ∴该圆心角所在的三角形为正三角形， ∴圆心角是π3弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有( ) A ．α＝－β B ．α＝－2k π±β(k ∈Z ) C ．α＝π＋β D ．α＝2k π＋π＋β(k ∈Z ) [答案] D[解析] 将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( ) A ．π3cmB ．πcmC ．3π2cmD ．2π3cm[答案] B[解析] 由弧长公式得，l ＝|α|R ＝π3×3＝π(cm)．4．下列各组角中，终边相同的角是( ) A ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z B ．k π2与k π＋π2，k ∈ZC ．k π＋π6与2k π±π6，k ∈ZD ．k π±π3与k π3，k ∈Z[答案] A[解析] 2k ＋1与4k ±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5．把－11π4写成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________．[答案] －3π4[解析] －11π4＝－3π4－2π＝5π4－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－3π4.6．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________. [答案] {θ|－π2＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z }[解析] y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y 轴右侧角的集合为{θ|－π2＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z }．三、解答题7．x 正半轴上一点A 绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min 到达第三象限，经过14min 回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析] 因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π. 又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<3π2.因为14θ＝2k π，k ∈Z ，所以2θ＝2k π7，k ∈Z .当k 分别取4、5时，2θ分别为8π7、10π7，它们都在⎝⎛⎭⎫π，3π2内． 因此θ＝4π7rad 或θ＝5π7rad.8．设集合A ＝{α|α＝32k π，k ∈Z }，B ＝{β|β＝53k π，|k |≤10，k ∈Z }，求与A ∩B 的角终边相同的角的集合．[解析] 设α0∈A ∩B ，则α0∈A 且α0∈B ， 所以α0＝32k 1π，α0＝53k 2π，所以32k 1π＝53k 2π，即k 1＝109k 2.因为|k 2|≤10，k 2∈Z ，且k 1∈Z ，所以k 1＝0，±10.因此A ∩B ＝{0，－15π，15π}，故与A ∩B 的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2k π或γ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }＝{γ|γ＝n π，n ∈Z }．9．已知扇形AOB 的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB . [解析] (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x (cm)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋xθ＝812θ·x 2＝3，解得θ＝23或6，即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)由于扇形的圆心角θ＝8－2xx，于是扇形面积S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2(弧度)，弦长AB ＝2·2sin1＝4sin1(cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角为2弧度，弦长AB 为4sin1cm. 备选题目：1.某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是_________；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为_________. 答案：6π- ，60cm π2 . 已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)2答案：D3. 下列各角中，与角π3-终边相同的角是 （A ）2π3 （B ）4π3 （C ）5π3（D ）7π3答案：C4. 已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是 （A ）3π （B ）32π （C ）34π（D ）35π答案：D5. 若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B6 .如图，现要在一块半径为1m 圆心角为3π的扇形金属板AOB 上，剪出一个平行四边形MNPQ ，第 11 页 使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，记MNPQ Y 的面积为S ，则S 的最大值为 A.23m B.232m C.233m D.236m 答案：D7 .若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_． 答案：(,)42ππ 8 ．已知B A ,是圆O 上两点,2=∠AOB 弧度,2=OA ,则劣弧AB 长度是__ ____.答案：4。