若50天生产一次，每次5000件，存贮费 4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000 元，总计127500元，平均每天费用2550元； 寻找合适的生产周期、产量，使得每天的费用 最少。
2014-6-19
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ；
用），在什么情况下才可以不考虑它？
2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设， 如 果生产能力有限，是大于需求量的一个常数， 如何建模？ 注 敏感性分析：讨论参数对结果的影响。 意 技巧：从所给数据出发，得到粗略结论。
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问题2 允许缺货的存贮模型 模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。
1 S (T , c2 ) 2
1 S (T , r ) 2
意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ； 而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；
日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。
当 c1 , c2 , r 有微小变化对生产周期影响不太大。
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思考 1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费
当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大； 当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小； 当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。
这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系
数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。
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T
在本例中
2c1 c2 r
C 2c1c2r
与不允许缺货模型相比较，有
c2 c3 c3
T T , Q Q / , R Q
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结果解释
T T , Q Q / , R Q
1） 1, T T , Q Q, R Q 即允许缺货时， 周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
用微分法 令
C (T , Q) 0, T
Q
C (T , Q) 0 Q
c3 2c1r c2 c2 c3
2c1 c2 c3 T c2 r c3
每天平均最小费用 C C (T , Q)
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每个周期的供货量 R rT
2c1 c2 c3 Rr c2 r c3
和
x ( x1 , x2 ,...,xn )
在约束条件 hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x f ( x)
x
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设计变量（决策变量） 目标函数
可行域
min(or max)f j (x) x j J
线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
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（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min(or max)f j (x) x j J
s. t. g i (x) bi , i I
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c2 c3 c3
T 愈接近 T ， 2）缺货损失费愈大， 愈小， Q, R
愈接近 Q 。
当c3 时， 1 ， T T , Q Q, R Q 3）
99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模
型。
00年B题：“钢管订购和运输”，二次规划模型。
01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。
02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。
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03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性
规划模型。
04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目
第三讲 优化模型
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优化模型的一般意义 简单优化模型举例 线性规划模型举例
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优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型， 占很大的比重。 92 年以来，优化模型有： 94年A题：“逢山开路”设计最短路径。 95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划 和非线性规划模型。 96年A题：“最优捕鱼策略”，以微分方程为 基础的优化模型。
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
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（三）建立优化模型的一般步骤
1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
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二 简单优化模型举例
例1 存贮模型
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；
（2）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计变量
的线性函数。
min u ci xi
i 1
n
aik xk bi , i 1,2,...,n. s.t. k 1 x 0, i 1,2,...,n. i
n
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（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
产不同的部件时因更换设备要付生产准备费
（与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于
需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的
生产计划，即多少天生产一次（称为生产周
期），每次产量多少，可使总费用最小。
当 c1 5000 , c2 1, r 100, 得 T 10 ，C 1000
这里得到的费用C与前面计算得950元有微
小差别，你能解释吗？
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讨论参数 c1 , c2 , r 有微小变化时对生产周期T 影响。 由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为

T
Q (rT Q) C c1 c2 c3 2r 2r
2Leabharlann 2c1 Q (rT Q) 每天平均费用 C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT 2014-6-19
2
2
模型求解
c1 Q2 (rT Q) 2 求T , Q满足min C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT
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1.确定设计变量和目标变量
总费用为目标变量 生产周期和生产量为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
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若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产 准备费5000元，每天费用5000元；
若10天生产一次，每次1000件，存贮费 900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元， 总计9500元，平均每天费用950元；
标线性规划模型。
05年B题：“DVD在现租赁”，0-1规划模型。 06年A题：“出版社的资源优化配臵”，线性规 划模型。
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07年B题：“乘公交，看奥运”，动态规划模型。 08年B题： “高等教育学费标准探讨”，优化模型。 09年B题： 医院眼科病床的合理安排问题， 2010年A题： 储油罐的变位识别与罐容表标定， 非线性规划 2011年B题：交巡警服务平台的设置与调度 ，
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t
T1
0
q (t )dt
存贮量
A
r T1
B
T

T
T1
q(t )dt
允许缺货模型的存贮量q(t)
缺货量
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
(rT Q)(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 (rT Q) 2 c3 一个周期的总费用 2r
车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；
商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；
水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
存贮量多少合适？
存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一
次性订购费用增加，或不能及时满足需求。
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问题1 不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生
存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，
直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q- r t， Q = r T 。 q Q r t T
不允许缺货模型的存贮量q(t)
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A
o
一个周期 内生产量 等于这个 周期内的 需求量
一个周期内存贮量

T
0
QT q(t )dt 2
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96年B题：“洗衣节水问题”，以用水量为目
标函数的优化模型。
97年A题：“零件的参数设计”，随机优化模型。
97年B题：“截断切割”，动态优化模型。
98年A题：“投资的收益和风险”，双目标优 化模型。 98年B题：“灾情巡视的最佳路线”，0-1线性 规划模型。
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99年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。
2 1 c2 r c1 1 T T dT c1 S (T , c1 ) 2 2c1 T 2 c1 c1 dc1 T c2 r 1 1 S (T , c2 ) S (T , r ) 2 2