第6章 群论 章
定义6.9 一个群 ，° )如果它的一个子代数 ，° ) 一个群(G， 如果它的一个子代数 如果它的一个子代数(H， 定义 也是一个群，则称 ， 是 ， 的一个群 的一个群。 也是一个群，则称(H，° )是(G，° )的一个群。 定义6.10 一个群 ，° )如果它的元素个数是有限 一个群(G， 如果它的元素个数是有限 定义 的，则称为有限群。如果它的元素个数是无限的， 则称为有限群。如果它的元素个数是无限的， 则称为无限群。 则称为无限群。 定义6.11 一个群 ，° )的阶记为 ，如果一个群 一个群(G， 的阶记为 的阶记为|G|， 定义 是有限群，则阶为元素个数，如果一个群为无限群， 是有限群，则阶为元素个数，如果一个群为无限群， 则阶为无穷大。 则阶为无穷大。
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由群表可知，一个阶为 的有限群 的有限群(G， ， 由群表可知，一个阶为n的有限群 ，* )，它 的每个元素对应G的一个置换，就是说： 的每个元素对应 的一个置换，就是说： 的一个置换 设有有限群(G， ，其中G={a1, a2, …, an}，则 设有有限群 ，* )，其中 ， 存在一个函数φ： 存在一个函数 ：
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4、群的同构 、 定义6.13 设(G，° )与(H，*)是两个群，若存在一 是两个群， 定义 ， 与 ， 是两个群 个函数 g : G → H，使得对每个 b ∈G ，有 ，使得对每个a, g (a ° b) = g (a ) * g (b ) 则称g是从 (G，° ) 到 ( H, * ) 的群同态。 的群同态。 则称 是从 ， 是一一对应的， 若 g : G → H 是一一对应的，则称 g 是从 (G，° ) ， 到 ( H, * ) 的群同构。 的群同构。
a1 ϕ (a i ) = a i ∗ a1 a2 L an = p ki ai ∗ a2 L ai ∗ an ( i = 1, 2, L , n)
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群表的特性： 群表的特性： (1) 总存在一行（或一列）其元素与横线上（或竖 总存在一行（或一列）其元素与横线上（ 线左边）的元素一样。 线左边）的元素一样。 (2) 每一行（列）内元素各不相同，且任两行（列） 每一行（ 内元素各不相同，且任两行（ 对应元素间也均不相同，故群表每一行（列）是 对应元素间也均不相同，故群表每一行（ G中元素的一个全排列。 中元素的一个全排列。 中元素的一个全排列 (3) 若群是可换群，则群表是对称的。 若群是可换群，则群表是对称的。
仍是字母串。 得Computer仍是字母串。 仍是字母串
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定理6.1 一个半群 ，°)，如果它有一个子代 一个半群(S， ， 定理 则此子代数也是一个半群。 数 (M，° ) ，则此子代数也是一个半群。 ， 定义6.2 一个半群(S，°)的子代数 (M，° )也是 定义 一个半群 ， 的子代数 ， 也是 半群，称为 ， 的子半群 的子半群。 半群，称为(S，°)的子半群。
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2、群的一些性质 、 （1） 群满足消去律 ） （2） 一个阶大于 的群一定没有零元 ） 一个阶大于1的群一定没有零元 （3）除了单位元外，一个群一定没有等幂元素。 ）除了单位元外，一个群一定没有等幂元素。 （4）一个群(G，° )的方程：a °x = b 与 y °a = b，其 ）一个群 ， 的方程： 的方程 在群内有唯一解。 中 a, b ∈G 在群内有唯一解。
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定理6.5 一个单位半群 ，°)，如果存在一个 一个单位半群(S， ， 定理 子代数 (M，° ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M，° ) ， ， 也是一个单位半群。 也是一个单位半群。 定义6.5 一个单位半群 ，°)，如果存在一个 一个单位半群(S， ， 定义 子代数 (M，° ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M，° ) ， ， 也是一个单位半群，称为 ， 的子单位半群 也是一个单位半群，称为(S，°)的子单位半群 。
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例：下面半群都是单位半群 (I,+)单位元素是 ，可记为 单位元素是0，可记为(I,+,0); 单位元素是 (I,×)单位元素是 ，可记为 ×,1) ； × 单位元素是 单位元素是1 可记为(I,× ( X *，° )单位元素是 空串 ， 单位元素是Λ(空串 单位元素是 空串) 可记为( X *，° ,Λ) ； 可记为 (ρ( E), ∪)单位元素是 ，可记为 E), ∪, φ) ； 单位元素是φ 可记为(ρ( 单位元素是 (ρ( E), ∩)单位元素是 ，可记为 E), ∩,E) 。 单位元素是E 可记为(ρ( 单位元素是 (N4，+4)单位元素是 ，可记为 4，+4， [0] ) 单位元素是[0] 可记为(N ， ， 单位元素是 ， (N4， ×4)单位元素是 ，可记为 4， ×4 ， [1] ) 单位元素是[1] 可记为(N ， 单位元素是 ，
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定理6.9 ：设(G，° )与(H，*)是两个群，有一个函数 是两个群， 定理 ， 与 ， 是两个群 g : G → H 使其群同态，则有 使其群同态，
g (e G) = e H
g (a-1) = g (a)-1
定理6.9 ：设(G，° )是一个群，若(G，° )与(H，*)满 是一个群， 定理 ， 是一个群 ， ， 满 同态或同构，则(H，*)也构成群。 同态或同构， ， 也构成群。 也构成群
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例如： 是群， 例如：(I,+)是群，因 a ∈I 都有逆元 - a ； 是群 (N4，+4)是群 的逆元是 ，[1]的逆元是 ， 是群,[0]的逆元是 的逆元是[3]， 是群 的逆元是[0]， 的逆元是 [2]的逆元是 。 的逆元是[2]。 的逆元是 (I,×)， ( X *，° )，(ρ( E), ∪) ，(ρ( E), ∩), ×， ， ， (N4，× 4)均不是群。 均不是群。 均不是群 定义6.8 一个群 ，° )如果满足交换律，则称为 一个群(G， 如果满足交换律 如果满足交换律， 定义 可交换群或称阿贝尔群。 可交换群或称阿贝尔群。 例如： 都是阿贝尔群。 例如：群(I,+)， (N4，+4)都是阿贝尔群。 ， 都是阿贝尔群
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定理6.2：一个循环半群一定是可交换半群。 定理 ：一个循环半群一定是可交换半群。 定理6.3： 定理 ：一个半群内的任一元素 a 和它所有的 所生成的循环子半群。 幂组成一个由 a 所生成的循环子半群。 (3) 单元半群（或单位半群）：有单位元素 的半 单元半群（或单位半群）：有单位元素e的半 ）：有单位元素 群(S，°)，常记为 ，°，e)。 ， ，常记为(S， 。
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2、一些特殊半群。 一些特殊半群。 一些特殊半群 (1) 可交换半群： 如果半群 ，°)中二元运算°是可 可交换半群： 如果半群(S， 中二元运算 中二元运算° 交换的，则称(S， 是可交换半群。 交换的，则称 ，°) 是可交换半群。 例如： 例如：(I,+)，(I,×)， (ρ( E), ∪) ，(ρ( E), ∩) (N4， ， ×， + 4) , (N4，×4)均是可交换半群。但( X *，° )不是 均是可交换半群。 不是 均是可交换半群 可交换半群。 可交换半群。 (2) 循环半群：一个半群 ，°)如果它的每个元素 循环半群：一个半群(S， 如果它的每个元素 均为S内某一固定元素 的某一方幂， 均为 内某一固定元素 a 的某一方幂，则此半群 称为由 a 所生成的循环半群，元素 a 称为此半群 所生成的循环半群， 的生成元素。 的生成元素。
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二、变换群 定义6.14 集合 上的若干个变换与复合运算若构 集合S上的若干个变换与复合运算若构 定义 成群，则此种群叫变换群。 成群，则此种群叫变换群。 定理6.9 ：任一个群均与一个变换群同构。 任一个群均与一个变换群同构。 定理
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三、有限群 群表：对有限群， 群表：对有限群，可用一张组合表将其运算表示出 来，称为群表。 称为群表。 设有限群(G， ，其中G={1，2，3}，这个 设有限群 ，* )，其中 ， ， ， 群可用表6.3所示的群表定义 群可用表 所示的群表定义 表6.3 * 1 2 3 1 2 3 1 2群
一、群与群的同构 1、群的有关定义 、 定义6.7 如果代数系统 ，° )满足 如果代数系统(G， 满足 定义 （1） (G，° )为一半群； 为一半群； ） ， 为一半群 中有单位元e； （2） (G，° )中有单位元 ； ） ， 中有单位元 中每一元素a∈ 都有逆元 （3） (G，°)中每一元素 ∈G都有逆元 a-1 ） ， 中每一元素 则称代数系统(G， 为群 为群。 则称代数系统 ，° )为群。
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半群 群
图 6.1.1
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一、半群 1、半群的有关定义 、 定义6.1 设(S，°)是代数系统，°是二元运算， 是代数系统， 定义 ， 是代数系统 是二元运算， 如果°运算满足结合律，则称它为半群。 如果°运算满足结合律，则称它为半群。 换言之，a, b, c∈S, 若°是S上的封闭运算且 换言之， ∀ ∈ 上的封闭运算且 满足(a ） 是半群。 满足 ° b）° c=a °（b ° c），则(S，°)是半群。 ） ， 是半群 许多代数系统都是半群。例如： 许多代数系统都是半群。例如：(I,+)，(I,×)， ， ×， (ρ( E), ∪) ，(ρ( E), ∩), (N4，+ 4) , (N4，×4)均是半 均是半 群。
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定义6.5 ：一个单位半群 ，°)如果由它的一个 一个单位半群(S， 如果由它的一个 定义 元素a 所生成， 元素 所生成，则称为由 a 所生成的循环单位半 称为此单位半群的生成元素。 群，元素 a 称为此单位半群的生成元素。 定理6.6 ：一个循环单位半群是一个可换单位半 定理 群。
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