2019-2020年高中数学 1．2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A 版必修11．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．2．映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[小问题·大思维]1．分段函数中，分几段就是几个函数，对吗？提示：不对．分段函数是一个函数，只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的，其图象是由几段图象构成．2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≥1x －1 x <0的定义域是什么？提示：定义域为(－∞，0)∪[1，＋∞)． 3．函数与映射有哪些联系与区别？提示：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．(2)区别：函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而对于映射而言，A 和B 不一定是数集．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤－2，x 2＋2x ， －2<x <2，2x －1， x ≥2.求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值．[自主解答] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.∵f (－52)＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，∴f (f (－52))＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34.在本例中，若f (a )＝3，则a 为何值？ 解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1， ∴a ＋1＝3.∴a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，∴a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． ③当a ≥2时，2a －1＝3，∴a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.—————————————————— 解决分段函数问题，应注意以下两点：(1)给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； (2)若给函数值求自变量，应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．————————————————————————————————————————1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， －1≤x ≤1，x 2－4x ＋6， 1＜x ＜5，求f (f (1))的值．解：∵f (1)＝3×1＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝32－4×3＋6＝3.[例2] 某汽车以52 km/h 的速度从A 地运行到260 km 处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．[自主解答] 因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)， 所以，当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5<t ≤6.5时，s ＝260；当6.5<t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)． 所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ， 0≤t ≤5，260， 5<t ≤6.5，260＋t －， 6.5<t ≤10.5.——————————————————从实际问题中抽象出函数模型，除了考虑函数解析式自身的限制条件，还要注意实际问题对自变量取值范围的限制.求分段函数的解析式，应注意“先分后合”，根据不同的定义域写出相应的函数解析式，最后合并.最后应把数学问题转化到实际问题中.————————————————————————————————————————2．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上时， 即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －2×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt ΔCEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0，2]2x －2 x ∈，5].－12x －2＋10 x ∈，7]函数图象如图所示．[例3] 下列对应是A 到B 的映射的有( )①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－xx ＋1；②A ＝{xx 年伦敦奥运会的火炬手}，B ＝{xx 年伦敦奥运会的火炬手的体重}，f ：每个火炬手对应自己的体重；③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[自主解答] ①中，对于A 中元素－1，在B 中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中元素4，在B 中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．[答案] B——————————————————判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义.判断方法为：先看集合A 中每一个元素在集合B 中是否均有对应元素.若有，看对应元素是否唯一；集合B 中有剩余元素不影响映射的成立.说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可.————————————————————————————————————————3．下列集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应法则f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x解析：判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f 判断，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中是否有唯一的元素与它对应即可．在A 中，当x ＝3时，|x －3|＝0，于是A 中有一个元素在B 中没有元素和它对应，故不是映射；在C 中，集合A 中的负数是在B 中没有元素和它对应，故不是映射(或者x >0时，B 中对应元素不唯一)；在D 中，集合A 中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B 中无对应元素，故同样不是映射；B 符合定义．答案：B 高手易错题走出迷宫！某农户计划建一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S 与长x 的函数关系．[错解] 设羊圈的长为x 米，则宽为(50－x )米，由题意，得S ＝x (50－x )． 故函数关系式为S ＝x (50－x )．[错因] 错解中函数关系式不完整，缺少自变量x 的取值范围．[正解] 设羊圈的长为x 米，则宽为(50－x )米，由题意，得S＝x (50－x )． 因为当自变量x 取非正数或不小于50的数时，S 的值是0或负数，即羊圈的面积为0或负数，这不符合实际情况，所以自变量x 的取值范围为0<x <50.故函数关系式为S ＝x (50－x )(0<x <50)．1．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．答案：C2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝(23)2＋1＝139.答案：D3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：∵g ＝x ·|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2， x <0，∴其图象为D. 答案：D4．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ， 0≤x ≤10010＋0.4x ， x >1005．已知从集合A 到集合B 的映射是f 1：x →2x －1，从B 到C 的映射是f 2：y →11＋y 2，则从A →C 的映射为________．解析：由已知可得11＋x －2＝14x 2－4x ＋2，∴A →C 的映射为x →14x 2－4x ＋2. 答案：x →14x 2－4x ＋26．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．解：根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2， v ＜252，12 500v 2S ，v ≥252一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应关系f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1，}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：B 中元素1在f 下有两个元素±1与之对应，不是映射；C 中元素0无倒数，不是映射；D 中元素0在B 中无元素与之对应，不是映射．答案：A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10， x ，10x ， x则f (f (－7))的值为( ) A ．100 B ．10 C ．－10D ．－100解析：f (－7)＝10，f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.答案：A3．给出下列四个对应，其中是映射的是( )解析：B 项中M 中元素2、4在N 中没有元素与之对应；C 项，M 中元素1、2在N 中对应不唯一；D 项，M 、N 中元素重复，而且，M 中元素3在N 中对应不唯一．答案：A4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b a a ＜b，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)解析：∵f (x )＝x ⊙(2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，xx ，x ＜∴f (x )的值域为(－∞，1]． 答案：A 二、填空题5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，2x ， －1<x <2，x 22， x ≥2，若f (a )＝3，则a 等于________．解析：由f (a )＝3，当a ≤－1时，a ＋2＝3， ∴a ＝1>－1(舍去)．当－1<a <2时，2a ＝3，∴a ＝32∈(－1,2)．当a ≥2时，a 22＝3，∴a ＝6≥2或a ＝－6<2(舍)．答案：32或 66．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________．解析：设A 中点的坐标为(x ，y )，则B 中为(x －y ，x ＋y )且有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12答案：(52，－12)7.已知y ＝f (x )的图象如图所示：则f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象易知f (x )的定义域为：(－∞，－1]∪(1，＋∞)，值域为(－∞，－1]∪(1,3)．答案：(－∞，－1]∪(1，＋∞) (－∞，－1]∪(1,3)8．规定：区间[m ，n ]的长度为n －m (n >m )．设集合A ＝[0，t ](t >0)，集合B ＝[a ，b ](b >a )，从集合A 到集合B 的映射f ：x →y ＝2x ＋t ，若集合B 的长度比集合A 的长度大5，则实数t ＝________.解析：由于集合A 和集合B 均是数集，则该映射f ：x →y 是函数，且f (x )＝2x ＋t .当x ∈A 时，f (x )的值域为[f (0)，f (t )]，即[t,3t ]，所以集合B 的长度为3t －t ＝2t ，又集合A 的长度为t －0＝t ，则2t －t ＝5，解得t ＝5.答案：5 三、解答题9．已知在函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 解：当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧1－x ， －2<x <0，1， 0≤x ≤2.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解：当－3≤x ＜－1时， 函数y ＝f (x )的图象是一条线段， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 将点(－3,1)，(－1，－2)代入， 可得a ＝－32，b ＝－72，即f (x )＝－32x －72.当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)． 将点(－1，－2)，(1,1)代入， 可得c ＝32，d ＝－12，即f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时， f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.2019-2020年高中数学 1．2应用举例教案教案（1）新人教A版必修5教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2(＋1)，c＝2，则∠A为 .2.在△ABC中，sin A＝，判断三角形的形状.解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：①出示例1：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).分析：实际问题中已知的边与角？选用什么定理比较合适？→师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？③出示例2：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC= =，BC ==.计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB④练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60. （答案：AB=20）.2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°. A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离. (答案：km)2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？（答案：a km）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：①出示例1：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：测量方法→计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC=，AB= AE+h=AC+h=+h.②练习：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)③出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？→师生共同解答.解答:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理, = ,BC ==≈7.4524(km)，CD=BC tan DBC≈BC tan8≈1047(m).2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？答案：20+(m)2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：①出示例1：甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.分析：根据题意，如何画图？→解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→学生讲述解答过程（答案：）→小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？②练习：已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°，甲船自A以50海里／小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的→解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？③出示例2：某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？→寻找三角形中的已知条件和问题？→如何解三角形.→师生共同解答. （答案：北偏东83方向；1.4小时）④练习：某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=absinC，S=bcsinA, S=acsinB③练习：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边 = 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在ABC中，求证：（1）（2）++=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。