x (kN)
0 0 2 3.8 4.0 2 4 7.9 6 12 4 2 0
ˆ y
y (mV)
8.1 4.2 0.1
解：1）用最小二乘法
n
0.0 (mV) 4
8.0 11.9 8.0 4.0 0.0 0 8 0 2 4
1 152 18 36.1 7 1.99 1 76 182 7
i k 1
k
k

n
yi ( n k )a0 a1
i k 1

n
n1 n或 k ) (k 2 2
xi
ˆ a1 x ，则 a0 0 ，y 若静态标定数据过零点，
a1 yi / xi
ˆ i )2 ( yi a0 a1 xi )2 min Q ( yi y 4）最小二乘法：
y S a1 常数 x
2. 非线性项仅有奇次项
y a1 x a3 x 3 a5 x 5
静态特性曲线关于原点对称，在原点附近有较 宽的线性范围，差动结构的传感器具有这种特性。
3. 非线性项仅有偶次项
y a1 x a2 x a4 x
2 4
静态特性曲线过原点，但不具有对称性，线性 范围较窄，测试系统设计时很少采用这种特性。
特点：简单方便，且 Lmax 减小，精度提高。
3）平均法： ˆ i ) ( yi a0 a1 xi ) 0 D ( yi y
i 1 i 1
n
n
把实验数据按输入量由小到大依次排列，分成个数近似 相等的两组，得
yi ka0 a1 xi
i 1 i 1
5.2 测试系统的标定
5.2.2 测试系统的动态标定
动态标定以经过校准的动态标准信号(如标准
正弦信号、阶跃信号等)作为传感器或测试系统的 输入，从而测量输出－输入的关系曲线(幅频特性 曲线、相频特性曲线、阶跃响应曲线)，然后求出 一阶测试系统的时间常数，二阶测试系统的阻尼
度、固有角频率。所采用的标准输入信号的误差
5.2.1 测试系统的静态标定
静态标定是在规定条件下，利用一定准确度等 级的标准设备(比被标定测试系统的准确度等级至少 高一个等级)，产生已知标准的静态量(如标准压力、 应变、位移等)作传感器或测试系统的输入量，用实 验方法进行多次重复测量，从而得到输出量的过程。
1. 静态标定条件
无加速度、无振动、无冲击(除非这些参数本身 就是被测物理量)，环境温度一般为室温(20±5)℃， 相对湿度不大于85％，大气压力为0.1MPa。
应为所要求测量结果误差的1 / 3 ~ 1 / 5 或更小。
第5章 测试系统特性分析
5.3 测试系统的静态特性
系统的输入、输出不随时间而变化的特性。 研究静态特性的目的 : (1)确定信号的大小； (2)确定误差的大小。
5.3.1 测试系统的静态数学模型
y a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 an x n
a1
n 1 n xi yi n xi yi i 1 i 1 i 1

i 1
n
xi2
1 n ( xi )2 n i 1
1 n b n 1 1.99 a0 yi xi 36.1 18 0.04 n i 1 n i 1 7 7
零点 线性项 非线性误差项 在研究测试系统的线性特性时，可以不考虑零位输出量， 即取a0=0，静态特性曲线过原点，如下图所示。
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
(a)线性特性；(b)非线性仅有奇次项；(c)非线性仅有偶次项；(d)一般情况
1. 理想线性特性
y a1 x
静态特性曲线是一条过原点的直线，直线上所 有点的斜率相等，测试系统的灵敏度为
4. 重复性(重复误差)
输入量按同一方向变化时，在全量程范围内 重复进行测量所得到各特性曲线的重复程度，即
y
Rmax
YFS
o
x
R
Rmax 100% YFS
5. 静态特性的其他参数
灵敏阀：又称为死区，用来衡量测 量起始点不灵敏的程度。
分辨力：能引起输出量发生变化时 输入量的最小变化量，表明测量装 置分辨输入量微小变化的能力。
5.1.1 线性系统及其主要性质(时域描述)
理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入 －输出关系。对于每一输入量都应该只有单一的输 出量与之对应，知道其中一个量就可以确定另一个 量，并且以输出和输入成线性关系最佳。
y y y
x
线性 线性
x
非线性
x
线性系统的输入x(t)和输出y(t)之间可以用微分 方程来描述：
(x
i 1 n
n
i
x )( yi y )
2 ( x x ) i i 1
y a0 a1 x得：ˆ y y a1 ( x x ) 将a0 y a1 x 代入 ˆ
该式表明 xi yi / xi2
4. 一般情况
y a1 x a2 x a3 x an x
2 3
n
静态特性曲线过原点，也不具有对称性，非线 性误差大。
5.3.2 测试系统的静态特性参数
1. 线性度(非线性误差)
ˆ 的接近程度。 标定曲线 y与拟合(理想)直线 y
500 C

y
Lmax
YFS
o x
100 C
ˆ 0.04 1.99 x 拟合直线为： y
灵敏度： 线性度：
S a1 1.99
(mV/kN)
Lmax 3.8 4.02 L 100% 100% 1.83% YFS 12
Lmax L 100% YFS
y a0 a1 x 设拟合直线方程为：ˆ
1）端点直线法
取零位输出值和满量程输出值作为直线的起点和终点， 两个端点的连线为拟合直线。 特点：简单方便，但
Lmax
大，精度较低。
2）端点平移直线法
将端点直线平行移动，移动间距为Lmax的一半，使标定 曲线分布在拟合直线的两侧。
4. 积分性
当初始条件为零时，系统对输入信号积分的 输出，等于原输入信号所得输出信号的积分，即

t 0
x(t )dt y(t )dt
0
t
5. 频率保持性
若系统的输入为某一频率的简谐信号，则系 统的稳态输出将为同一频率的简谐信号，即
若
则
x(t) = x0 cos(ωt +φx )
y(t) = y0 cos(ωt +φy )
2 0.375 2 100% 100% 3.75% 10
5.2 测试系统的标定
对传感器或测试系统的测量结果进行验证的过 程称为标定。根据用途分为静态标定和动态标定。
静态标定的目的是确定传感器或测试系统的静 态特性参数，线性度、灵敏度、滞后量和重复性。
动态标定的目的是确定传感器或测试系统的动 态特性参数，如频率响应、时间常数、固有频率和 阻尼度等。对于测量频率很高的机械量，如冲击、 振动等，除静态标定外，还要进行动态标定。
x1(t) ± x2(t) → y1(t) ± y2(t)
2. 比例性 常数倍输入信号所得的输出，等于原输入信 号所得输出信号的常数倍，即 c x(t) → c y(t) (c为常数)
3. 微分性
系统对输入信号微分的输出，等于原输入信 号所得输出信号的微分，即
dx( t ) dy( t ) dt dt
零点漂移：输出零点偏离原始零点 的距离。
测量范围(量程)：测量装置能正常 测量最小输入量和最大输入量之间 的范围。 稳定性：在一定工作条件下，当 输入量不变时，输出量随时间变 化的程度。 可靠性：与测量装置无故障工作 时间长短有关的一种描述。
案例：某力测量系统的静态标定数据如下表，求： 灵敏度、线性度和滞后量。
2. 静态标定过程
（1）将传感器或测试系统全量程(测量范围)分 成若干等间距点(至少6个点)；
（2）根据量程分点情况，由小到大、再由大到 小逐点输入标准静态量，并记录下与各输入值相对 应的输出值； （3）按步骤(2)的过程进行多次重复测量，将得 到的输出－输入测量数据用表格列出或绘成曲线； （4）对测量数据进行分析处理，根据处理结果 就可确定测试系统的线性度、灵敏度、滞后量和重 复性等静态特性参数。
测量10V左右的电压时，问选用哪块电压表？
解： n
x
n
xx 100% 100% 100% xn xn
1 n1xn1 1.5% 150 2.25V
2 n 2 xn 2 2.5% 15 0.375V
1 2.25 1 100% 100% 22.5% 10
V
复杂测试系统(轴承缺陷检测)
加速度传感器
带通滤波器
包络检波器
系统分析中的三类问题： x(t)
h(t)
y(t)
（1）当输入、输出是可测量的(已知)，可以通 过它们推断系统的传输特性。(系统辨识)
（2）当系统特性已知，输出可测量，可以通过 它们推断导致该输出的输入量。(反求)
（3）如果输入和系统特性已知，则可以推断和 估计系统的输出量。(预测)
若系数an，an-1，…，a0和bm，bm-1，…，b0为 常数，该系统称为时不变线性系统(LTI系统)。
在工程应用中，测试系统都可处理为LTI系统。
5.1.1 线性系统及其主要性质
1. 叠加性 系统对各输入信号之和的输出，等于各输入 信号单独作用时输出信号的之和，即 若
则
x1(t) → y1(t)，x2(t) → y2(t)