第二章 弹性分析影响商品需求的任何因素变动将导致商品需求发生改变，商品销售方渴望知道，如果他们对商品销售价格进行调整、对商品质量进行改进或者提高售后服务水平等等，其商品的市场需求将如何变化；同样，政府也想知道，调整税收将如何影响产品和劳务的市场需求，更一般地说，函数自变量变化能在多大程度上影响函数因变量变化。

为了更好地进行定量分析，经济学家选择了一个被命名为弹性（η）的定量分析指标，弹性描述了函数因变量对自变量变化的敏感程度，即自变量变化1%个单位时，因变量将变化百分之几个单位。

如果函数表达式为()y f x =，那么，我们可以利用数理工具将函数图像上11(,)A x y 和22(,)B x y 两点之间的弧．弹性．．刻画如下： 100%100%y y x y x x yxη∆⨯∆===⋅∆∆⨯因变量变化的百分数弧弹性()自变量变化的百分数 （2-1） 当11(,)A x y 、22(,)B x y 两点无限靠近，即0x ∆→时，弧弹性演化成点弹性．．．，同样，我们可以利用数理工具将点弹性刻画如下：dy x dx yη==⋅因变量变化的百分数点弹性()自变量变化的百分数 （2-2） 第一节 弹性的数理刻画与几何意义面对具有函数关系的变量，比如()y f x =，或者123(,,,...,)n y f x x x x =，经济学研究中，常常需要考察自变量变化()x ∆对因变量变化()y ∆的影响力度(y x∆∆)。

如果仅仅研究11(,)A x y 和22(,)B x y 两个状态，那么，最理想的研究工具当然是y x∆∆，因为y x ∆∆直观地显示：自变量变化1单位时，因变量变化y x ∆∆单位，但是，这种比较静态方法没有经济学边际分析意义。

由于导数具有边际分析意义，所以，经济学更多地利用导数()dy dx刻画自变量变化()dx 对因变量变化()dy 的影响力度，但是，对目标函数求导的结果往往是一个不具有经济学含义的导函数，因此，经济学引入弹性概念，用以描述自变量变化1%个单位时，因变量变化百分之几个单位，即dy x dx y η=⋅，或者y x x yη∂=∂。

经济学常常利用导数与弹性进行经济分析。

经济学利用导数的正负号判断函数单调性，从而判断经济变量之间表现为同方向变化还是反方向变化；利用弹性符号η替代dy x dx y，不仅消除了表达式中的微分符号、简化了表达式，而且η具有直观经济学含义。

我们首先将注意力聚焦于弹性的数理刻画，然后将视线转移到弹性的几何意义。

一、需求的价格弹性需求弹性分为需求的价格弹性、需求的收入弹性和需求的交叉弹性等①。

我们将在下文分别详细探讨。

需求的价格弹性描述了商品需求量对商品价格变化的敏感程度。

假设某商品的需求函数为()Q f P =，则该商品需求的价格弹性可以表示为：100%100%Q Q P Q P P QP∆⨯∆===⋅∆∆⨯需求量变化的百分数需求的价格弹性价格变化的百分数 （2-3） 式（2-3）刻画了某商品的销售价格从1P 变化到2P 时，该商品需求曲线上点11(,)A P Q 和点22(,)B P Q 之间的弧弹性大小，其中，21Q Q Q ∆=-，21P P P ∆=-，12()/2Q Q Q =+，12()/2P P P =+。

商品价格与商品需求量之间的反方向变化必然导致0Q P P Q∆⋅<∆，但是，商品需求量对商品价格变化的敏感程度仅仅取决于||Q P P Q ∆⋅∆的大小，而与Q P P Q∆⋅∆的符号无关，同时，为了方便不同弹性之间进行相互比较，我们将需求的价格弹性调整为：① 国内市场大量充斥着假冒伪劣产品的情况下，商品质量对商品需求量的影响甚至超过了价格对商品需求量的影响，所以，研究商品的质量弹性是件非常有意义的工作，但是，由于商品质量高低程度难以量度和计量，因此，经济学一般避开了这个“话题”。

||Q P Q P P Q P Q∆∆=⋅=-⋅∆∆需求的价格弹性 （2-4） 式（2-4）刻画了需求曲线上两点之间的弹性大小，因此，我们称之为弧弹性．．．。

如果0P ∆→，那么，必然有0Q ∆→，当需求曲线上两点之间的变化量无限趋向于零时，我们称之为点弹性．．．，点弹性的具体表达式为： 0lim ||||P Q P dQ P dQ P P Q dP Q dP Q∆→∆=⋅=⋅=-⋅∆需求的价格弹性 （2-5） 我们也可以将需求的价格弹性表示为ln ln d Q d P η=①，值得注意的是，dQ P dP Q η=⋅更适合于处理线性问题，ln ln d Q d Pη=更适合于处理非线性问题。

例题1： 假设某商品的需求函数为b Q aP =，其中，a 和b 为非零常数，则需求的价格弹性为多少？解答： 方法①：ln ln ln ln ln b d Q Q aP Q a b P b d P η=⇒=+⇒== 方法②：11b b b dQ dQ P P abP abP b dP dP Q aPη--=⇒=== 心得体会：面对非线性问题时，首先对需求函数两边同时取对数，将之转换为线性形式，然后利用ln ln d Q d Pη=求弹性，可以大大简化运算过程。

①证明1：利用微分方法：1ln ln ln 1ln dQ dQ d Q dQ d Q Q Q Q dP d P dP d P dP P P P η⎫==⎪⎪⇒==⎬⎪==⎪⎭ 证明2：利用导数方法：ln 1ln ln ln ln 1ln d Q dQ d Q d Q P dQ dQ Q Q d P Q dP d P dP d P dP P P η⎫=⇒=⎪⎪⇒==⎬⎪=⇒=⎪⎭证明3：利用链式法则：ln 1ln ln 1ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln ln ln dQ dQ d P dQ dQ dQ P d Q d Q dQ dQ P dQ dP d P dP d P P d P dP d Q d Q dQ dQ d P dQ d P Q d P Q dP d P dQ d P Q d P η⎫==⇒=⎪⎪⇒====⎬⎪==⎪⎭二、需求的收入弹性需求的价格弹性描述了商品需求量对该商品价格变化的敏感程度，但是，政府决策部门和经济学理论研究人员都想知道商品需求量（Q ）对消费者收入（M ）变化的敏感程度，于是我们引入需求的收入弹性。

与需求的价格弹性完全类似，我们可以将需求的收入弹性刻画如下：dQ M dM Q =⋅需求的收入弹性 ( 2-6) 如果0dQ dM>，那么，表明消费者对该商品的需求随着收入的增加而增加，我们称这类商品为正常品．．．；如果0dQ dM<，那么，表明消费者对该商品的需求随着收入的增加而减少，我们称这类商品为低等品．．．；如果0dQ dM=，那么，表明消费者对该商品的需求与收入无关，我们称这类商品为中性品．．．。

我们可以将上述分析归纳如下：000dQ dM dQ dM dQ dM ⎧>⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<⎪⎩我们将此类商品称为正常品我们将此类商品称为中性品我们将此类商品称为低等品，；，；，。

0M dQ Q dM >⇒与dQ M dM Q⋅的符号相同，因此，我们可以借用需求的收入弹性作为分类标准，对商品分类①进行如下刻画：0ηηηη⎧⎪<⎪⎪⎨⎪<<⎧⎪⎨⎪>⎩⎩低等品()商品中性品(=0)必需品(01)正常品奢侈品(1)① 特别注意：将商品分类为低等品、正常品和中性品的唯一标准是需求的收入弹性，与任何其它指标无关，这对掌握好收入效应非常紧要！另外，没有哪种商品天然就是低等品或正常品。

对某个消费是低等品的商品对另一个消费者可能是正常品，对同一个消费者来说，某商品在某时期是正常品，但在另一时期可能是低等品，在某一时期的低等品，但在另一时期也可能是正常品。

例题2：证明：两商品模型中，如果其中一种商品为劣等品，那么，另一种商品必为奢侈品。

解答：我们知道：劣等品的收入弹性小于0，正常品的收入弹性大于0，奢侈品的收入弹性大于1。

在两商品模型中，假设商品X 为劣等品，另一种商品为Y ，则有/0/dX X dM M<，消费者预算约束方程X Y XP YP M +=两边同时对M 求导数，得1X Y dX dY P P dM dM +=，对其进行整理可得//1//X Y XP YP dX X dY Y dM M M dM M M⨯+⨯=，由于/0/dX X dM M <，所以，必有/1/Y YP dY Y dM M M ⨯>，又因为01Y YP M<<，因此，必有/1/dY Y dM M>，即Y 商品的收入弹性大于1，从而命题得证。

心得体会：因为我们将商品分类的标准是需求的收入弹性，所以，在具体分析时必须“凑”出需求的收入弹性表达式，否则分析过程便难以为继。

这种“凑”弹性表达式的方法在经济学分析中得到了广泛应用，希望读者好好体会。

三、需求的交叉弹性即使与被研究商品相关的所有其它条件保持不变，相关商品价格发生变化也会影响消费者对被研究商品的需求量。

与被研究商品相关的商品包括替代品和互补品。

在消费中可以相互替代以满足消费者某种欲望的商品被称为替代品．．．，如雪碧和可乐、王老吉与加多宝等。

在其它条件不变的情况下，对被研究商品而言，如果替代品价格上涨，那么，消费者对被研究商品的需求量增加；如果替代品价格下跌，那么，消费者对被研究商品的需求量减少。

消费者将某两种商品相互捆绑使用，以满足消费者某种欲望的商品被称为互．补品．．，如汽车与汽油、左脚鞋与右脚鞋等。

在其它条件不变的情况下，对被研究商品而言，如果其互补品价格上涨，那么，消费者对被研究商品的需求量减少；如果其互补品价格下跌，那么，消费者对被研究商品的需求量增加。

因为替代品和互补品的价格变动影响商品需求量，为了对这类经济现象进行定量分析，我们不得不提及商品需求的交叉弹性。

//A A B BQ Q A B P P ∆==∆商品需求量变化率需求的交叉弹性商品价格变化率我们也可以根据商品交叉弹性大小将商品分类为替代品、互补品和无关品。

如果两种商品之间的需求交叉弹性大于零，则这两种商品是替代品。

对于替代品来说，如果商品B 涨价，则必然导致商品A 的需求增加，相反，如果商品B 跌价则必然导致商品A 的需求减少。

如果两种商品之间的需求交叉弹性小于零，则这两种商品是互补品。

对于互补品来说，如果商品B 涨价，则必然导致商品A 的需求减少；如果商品B 跌价，则必然导致商品A 的需求增加。

如果两种商品之间的需求交叉弹性等于零，我们称这两种商品为无关品。

四、供给弹性供给弹性是指供给的价格弹性，被用来描述商品供给量对商品价格变动的敏感程度。