例 1：已知椭圆 （1） 求离心率； （2） 若 | AB | =
2 2
焦点弦问题
15 ，求椭圆方程. 4
解析：（1）求离心率套公式即可
e cos
1 2 ，代入求得 e 1 3
a2 5 2ep 15 | p c 套用公式 | AB || 解得 1 e 2 cos 2 4 c 2
ec a e cos 1
2ab2 2ep | | 同理可得 MF 2 2 a c cos 1 e2 cos 2
（1）焦点弦长的求法
x y 1 的右焦点为 F ，经过 F 且倾斜角为 的直线与椭圆相交于 60 a 2 b2 不同的两点 A, B ，已知 AF 2 FB .
1 （此公式适用于椭圆，双曲线中内分弦，抛物线），在双曲线中， 1 1 如果焦点 F 外分弦 AB 时， e cos 1
系式： e cos
注意：在双曲线中内分弦是直线与双曲线的一支有两个交点；外分弦是直线与双曲 线的两支各有一个交点， 判断是内分弦还是外分弦只需要看这条直线的斜率和渐近线的 斜率的大小即可。
焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式 已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
NMF 60 则 NMF 为等边三角形。
至于 MF 的求法，可以利用抛物线焦半径公式 MF 故 M 到直线 NF 的距离为 2 3
p 4 1 cos
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
2p 注意：抛物线焦点弦长公式为： | AB | sin 2 p 其中较长的焦半径为： AF 1 cos p 较短的焦半径为： | B F | 1 cos
焦点弦问题
（2）焦点弦中三要素之间的关系
上面求得焦点弦长公式与离心率 e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角 以及点分线段的比例之间的关系。 设 为大于 1 的数，因此选取的都是长比短的数值，设 为弦长与焦点所在的对称 轴的夹角（锐角），根据上面求出的 MF , NF 的长度，代入整理即可得出三者之间的关
焦点弦问题
（2）焦点弦中三要素之间的关系
x2 y 2 例 4： 已知双曲线 2 2 1 的右焦点为 F， 过 F 且斜率为 3 的直线交于 A, B 两点 （全 a b 都在右支上），若 AF 4 FB ，求双曲线的离心率。
解析：题目是内分弦的形式，用公式 e cos 其中 60 , 4 解得 e
1 1
6 5
焦点弦问题
（2）焦点弦中三要素之间的关系
x2 y 2 4 3 例 5：已知双曲线 2 2 1 的离心率为 ，过左焦点 F 且斜率为 k 0 的直线交双 a b 3 曲线的两支于 A, B 两点，若 | FA | 3 | FB | ，求 k 的值.
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆方程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.
例 3： 过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F， 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方） ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
法一：利用弦长公式
| AB | (1 k 2 )[(x1 x 2 )2 4 x1x 2 ] (1
1 2 )[(y y ) 4 y1 y2 ] 1 2 2 k
若要使用弦长公式，我们需要设出 AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利 用韦达定理求出 A, B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可， 这也是我们 在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。 法二：利用直线的参数方程 在参数方程中我们也学过求弦长的方法， 此法和弦长公式差不多， 但是在解 决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。 设 A 点参数为 t1 ， B 点参数为 t 2 ，则 | AB || t1 t2 |
焦点弦问题
老师姓名：
1
焦点弦长的求法
焦点弦中三要素的关系 双曲线中与焦点弦问题相关的 交点个数问题
目 录
D I R E C TO RY
2 3
/
焦点பைடு நூலகம்问题
焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。组成焦点 弦的因素有3个：线段MN的长度，直线MN的倾斜角以及点F分线段MN的比例关系，所以在研究 焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。