学号 20090501050227密级兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：苏志升指导教师：宋雪梅二○一三年五月BACHELOR’S DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYProperties and Applications of OrthogonalMatrixCollege ：Mathematics CollegeSubject ：Mathematics and Applied MathematicsName ：Su ZhishengDirected by ：S ong XuemeiMay 2013郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。

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本人签名：日期：摘要本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。

研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。

关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用ABSTRACTOrthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix.Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.目录第一章引言 (1)第二章正交矩阵及其性质 (2)2.1 正交矩阵的定义 (2)2.2 正交矩阵的性质 (2)2.3 正交矩阵的判定 (7)第三章正交矩阵的应用 (12)结论......................................................................................................... 错误！未定义书签。

参考文献 . (17)致谢 (18)第一章引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具．“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语．而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了．从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的．在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反．凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章．1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论．文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性．另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果．在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G．Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的．他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质．1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题．1892年,梅茨勒(H．Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式．傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的．在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换．在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要．矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论．而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论．矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用．第二章 正交矩阵及其性质本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,'i a 表示矩阵A 的第i 行.det A 表示行列式的值即det A =A ．2.1 正交矩阵的定义定义2.1.1[]1 设A 是n 阶实方阵，如果E AA =',则称A 是正交矩阵．例如 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--313232323132323231都是正交矩阵． 根据定义，易见正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，()ij A a =为正交矩阵当且仅当A 可逆且1T A A -=,这也等价于⎩⎨⎧≠==+++.,0,,12211j i j i a a a a a a nj ni j i j i或⎩⎨⎧≠==+++.,0,,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵，则 ()1 1A =±；()2 A 可逆,且1-A 也是正交矩阵；证明 ()1由A AE '=,可知21A =,则1A =±．()2由E A A ='可知,A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1-A 是正交矩阵．对正交矩阵A ，当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1-=A 时,则称A为第二类正交矩阵．性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则()1 AB ,m A (m 为自然数),B A ',B A ',B A 1-,1-AB ,BA A 1-等都是正交矩阵．()200A A A B A A ⎛⎫⎫⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵．()3 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵sA A A ,,,21 ⇔均为正交阵． 证明 ()1由11,A A B B--''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵．从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),B A ','AB ,B A 1-,1-AB ,BA A 1-等均为正交矩阵． ()2因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A A A A A A A 2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-'=A A A A A A A A 2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E E A A AA 00200221''．所以00A A A B A A ⎛⎫⎫⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵． ()3准对角矩阵()sA A A ,,,diag 21 为正交矩阵 ⇔()()()E A A A A A A ss =',,,diag ,,,diag 2121 s i E A A i,,1, =='⇔ sA A A ,,,21 ⇔均为正交阵． 性质3 ()1设,AB 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=；()2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则B A -必不可逆,即0A B -=；()3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；()4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆． 证明 ()1因为A A B A B B B A '+'=+A A B B '+'=A B B '+'-=2()'+-=B A BA +-=所以得0AB +=,即A B +不可逆．()2AA B A B B B A '-'=- A A B B '-'=A B B '-'=2()'--=B A ()B A n--=1所以当n 为奇数时,AB A B -=-- ,即0A B -=．从而A B -不可逆．由于n 为奇数,且1=A ,于是AE A E A E --='--=-)(,故0=-A E ,即1为A 的一个特征值．性质6 设A 为n 阶正交矩阵． ()1当0<A 时,则1-是A 的特征值；()2当0<A 且n 为偶数时,则1是A 的特征值； ()3当0>A 且n 为奇数时,则1是A 的特征值．证明 ()1只需证.01=--A E n事实上,()n nn E A A E +-=--11， =+n E A ()n n E A A A E A A A A +='+='+,0)1(=+-⇒n E A A其中.01≠-A 从而0=+n E A ,得证1-是A 的特征值．()()3,2只需证.0=-A E n 事实上,A AA A E n -=-'()n E A A -= n E A A -= A E A n n --=)1(．故[])1(1=---A E A n n .当0<A 且n 为偶数时,()；0111≠-=--A A n当0>A 且n 为奇数时,(),0111≠+=--A A n,0=-A E n 从而得证1是A 的特征值．性质7 设A 为n 阶正交矩阵,()A xI x f A -=为A 的特征多项式,则 ()I 当1=A()i n为偶数时, (),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),2,,2(11===+--nk n k b nk b b ()ii n为奇数时, (),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),21,,21(11-=-=-=+--nk n k b n k b b ， ()II 当1-=A()i n为偶数时, (),111n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),21,,21(1-=-=-=--nk n k b n k b b ， ()ii n为奇数时, (),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),21,,21(=-==-nk n k b n k b b ， 证明 正交矩阵A 的特征多项式为(),111nn n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以()k 1-，n k ,,2,1 =．令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k k i i i i A M 11为A 的k 阶主子式,k A 为k 阶主子式k M 的代数余子式,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---k n k n k n i i i i A N 11为k M 的余子式．()I 若1=A,则()().112k n kn i i k k N N A M k--++=-== 因k M 为A 的k 阶主子式,所以k n N -为A 的k n -阶主子式,故A 的一切k 阶主子式之和等于A 的一切k n -阶主子式之和．()i n为偶数时,()x f 有奇数项,由,11+--=k n k N M 且1-k b 为所有的1-k M 之和乘以()11,1+---k n k b 为所有的1+-k n N 之和乘以(),11+--k n 其中()()().1111为偶数n k n k +---=-故().11),2,,2(11=-===+--A b n k b b nnk n k ()ii n为奇数时,()x f 有偶数项,由,,11k n k k n k N M N M -+--==且k b 为所有的kM 之和乘以()k n kb --,1为所有的k n -阶主子式之和乘以(),1k n --其中()()kn k ---11与相差一个符号．故.1)1(),21,,2,1(1-=-=-=-=--A b n k b b n nk n k 所以,若1=A ,当n 为偶数时,A 的特征多项式有奇数项,它以2n b 为中间项,左右对称项的系数相同,其中包括首项系数与常数项n b ；当n 为奇数时,A 的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号,因首项系数为1,且n b 为-1,故也包括在内．()II 若1-=A ,则()().112kn k n i i k k N N A M k--++-=--=-= 故A 的一切k 阶主子式之和与A 的一切k n -阶主子式之和仅差一个符号．()i n为偶数时,()x f 有奇数项,由,11+---=k n k N M 且1-k b 为所有的1-k M 之和乘以()11,1+---k n k b 为所有的1+-k n N 之和乘以(),11+--k n 其中()()().1111为偶数n k n k +---=-故.1)1(),2,,2(11=-==-=+--A b n k b b n nk n k ()ii n为奇数时,()x f 有偶数项,由,,11k n k k n k N M N M -+---=-=且k b 为所有的k 阶主子式之和乘以()kn k b --,1为所有的k n -阶主子式之和乘以(),1k n --其中()()k n k ---11与相差一个符号．故.1)1(,21,,2,1-=-=-==-A b n k b b nnk n k ）（ 所以若1-=A ,当n 为偶数时,A 的特征多项式有奇数项,它以2n b 为中间项,左右两边对称项的系数相差一符号,因首项系数为1,n b 为1-,故也包括在内；当n为奇数时,A 的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数相同,其中包括首项系数与常数项n b 均为1,也包括在内．性质8 正交矩阵A 的一切k 阶主子式之和与一切相应k n -阶主子式之和或相等或仅差一符号．性质9 正交矩阵可以对角化,即存在复可逆阵T 使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n T A λλ 11,其中1,...,n λλ为A 的全部特征值,即()11,2,...,i i n λ==．性质10 对称正交矩阵()nn ij a A ⨯=的行列式().12trAn A --=证明 由对称正交矩阵的特征值只有1或1-．设A 的n 个特征值中有k 个1-,则剩下的就是k n -个1．由()(),2111trA k n k n k ni i =-=-⨯+⨯-=∑=λ故.2trAn k -= 所以().)1(1121trAn kk i ni A -=-=-=∏=λ 例如对称正交阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=979494949198949891A 有()().111297919132-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛++--trA n A 性质11 当n 阶正交矩阵A 为基础循环矩阵时,则它的全部特征值为实根,且为n 个n 次单位根．证明 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001100001000010 A 为基础循环矩阵．可知A 的特征多项式为(),1-=-=nx A xI x f 则其特征根为()n k nk i n k x k,,2,12sin 2cos =+=ππ．故n x 为n次单位根．2.3 正交矩阵的解法下面介绍矩阵的解法．因为正交矩阵是实矩阵，即元素全是实数的矩阵．所以以下提到的矩阵，向量及数都是实的． 先来看正交矩阵的元素之间有什么关系．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a aa a a a a a A 212222111211是一个正交矩阵，根据正交矩阵的定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a A A212221212111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100000100001 , 推出⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++,0,1221122221jn in j i j i in i i a a a a a a a a a （当j i ≠时）， 即ij nk jk ik a a δ=∑=1),,2,1,(n j i =．式中的ij δ当j i =时，为1；当j i ≠时，为0．这组等式表明正交矩阵的行向量之间的重要关系,通常称为正交条件．同样地,正交矩阵的列向量也满足正交条件：ij nk kj ki a a δ=∑=1这组等式可以从E A A ='得到．为了进一步讨论有关正交矩阵的问题，引入下列定义： 定义2.3.1 两个n 维实向量()n a a a ,,,21 =α，()n b b b ,,,21 =β的内积βα,定义为n n b a b a b a ++=2211,βα．当0,=βα时，则称α与β正交．由定义可知，零向量与任何向量都是正交的．定义 2.3.2 如果向量组s ααα,,,21 中任意两个都正交，而且每个()s i i ,,2,1 =α都不是零向量，那么这个向量组就称为正交向量组．例如，n 个基本向量就是一个正交向量组． 如果A 是一个正交矩阵，那么正交条件01=∑=jk nk ika a),,2,1,;(n j i j i =≠说明了A 的n 个行向量是两两正交的．又由于A 可逆，所以它的行向量都不是零向量，这说明正交矩阵A 的行向量组成一个正交向量组．同样地，正交条件01=∑=jk nk ika a),,2,1,;(n j i j i =≠．说明了A 的列向量也组成一个正交向量组．为了刻划条件112=∑=nk kia ；112=∑=nk kja . 引入以下定义：定义2.3.3 设()n a a a ,,,21 =α是一个n 维实向量，令ααα,=． α称为α的长度．如果α=1，则α称为单位向量．因为()n a a a ,,,21 =α是实向量，所以αα,=022221≥+++n a a a ααα,= 总是有意义的．从定义可知：0=α的充分必要条件是0=α；α是单位向量的充分必要条件是1,=αα．例如基本向量以及正交矩阵的行向量与列向量都是单位向量．因此，n 级矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是：它的行（列）向量组是正交的单位向量组．从而只要找出n 个正交的n 维单位向量，以它们为行（或列）作成的矩阵一定是正交矩阵．下面介绍一种找正交向量组的方法——正交化方法．在介绍这个方法以前，先对向量的内积进行一些讨论．向量的内积具有下列性质： 1.βαβα,,=；2.βαβαβαα,,,2121+=+；3.βαβα,,k k =（k 是任意实数）．这些性质都可以直接从内积的定义推得．同时从这三个性质又可以推出:βαβαβαα,,,22112211k k k k +=+；22112211,,,βαβαββαl l l l +=+．下面证明关于正交向量组的一个重要性质． 定理2.3.4 正交向量组一定是线性无关的．证明: 设s ααα,,,21 是一个正交向量组．如果02211=++s s k k k ααα ，那么0,11=++s s i k k ααα ),,2,1(s i =．展开得0,,,2211=+++s i s i i k k k ααααα因为i α与s i i αααα,,,,,111 +-都正交，所以0,=i i i k αα),,2,1(s i =．又因0≠i α，所以0,≠i i αα．由此得0=i k ),,2,1(s i =．这就证明了s ααα,,,21 是线性无关的．定理2.3.5 设s ααα,,,21 是一组线性无关的向量．那么可以找到一组正交的向量s βββ,,,21 ，使得i ααα ,,21与i βββ,,,21 ),,2,1(s i =等价．证明：令11αβ=．再令122βαβk +=来决定k ，使得112112121,,,,ββαββαβββk k +=+=，所以取1121,,ββαβ-=k 即可． 再令221133ββαβk k ++=．因为21113131,,ββαβββk k ++=11131,,ββαβk +=;22113232,,ββαβββk k ++=22232,,ββαβk +=．所以取1131,,ββαβ-=k ，2232,,ββαβ-=k ．既有0,,3231==ββββ．这样，就找到了两两正交的向量,,,321βββ使得1α与1β；21,αα与21,ββ；321,,ααα与321,,βββ等价．把这个步骤继续进行下去，一般地，如果已经找到了t 个两两正交的向量t βββ,,,21 ，使得i ααα ,21,与);,,2,1(,,,21s t t i i <= βββ等价． 那么令t t t t l l ββαβ+++=++ 1111．取()()jjt jj l ββαβ,,1+-=),,2,1(t j =，就得一个正交向量组121,,,+t βββ ，使得i ααα,,,21 与i βββ,,,21 )1,,2,1(+=t i 等价．最后，当s t =+1时，就得到了所求的向量组．这个定理的证明给出了一个具体求与已知线性无关的向量组等价的正交向量組的方法，一般称为正交化方法．如果再将定理中所得的向量单位化，令iii ββγ=),,2,1(s i =， 那么s γγγ,,,21 就是一组正交的单位向量，使得i ααα,,,21 与i γγγ,,,21 等价．例1 已知)21,21,21,21(1=α，)21,21,21,21(2--=α．求43,αα，使得4321,,,αααα是正交单位向量组．解：首先，由于21,αα是线性无关的，所以可以取两个向量()1,0,0,13=β，)0,1,0,0(4=β使4321,,,ββαα线性无关．将4321,,,ββαα正交化，得一个正交向量组：)21,21,21,21(1=α，)21,21,21,21(2--=α22231111333,,,,αααβααααββγ--=2132121ααβ--=⎪⎭⎫⎝⎛-=0,0,21,21 33334222241111444,,,,,,γγγγβααααβααααββγ---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,21,0,0．再将这组向量单位化，既得到一个正交单位向量组：)21,21,21,21(1=α，)21,21,21,21(2--=α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,0,22,223α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22,22,0,04α， 其中向量43,αα即为所求．从这个例题可以看出：正交单位向量1α与2α在正交化及单位化的过程中都不会改变．这说明：任意()n s s ≤个n 维正交的单位向量都可以作为某个n 级正交矩阵的s 个行（或列）．这是一个很重要的事实．第三章 正交矩阵的应用正交矩阵具有诸多特殊的性质，本文主要研究其在空间坐标变换中的应用．我们知道，若A 是行列式为1的正交矩阵，则变换()()TT z y x A z y x ,,,,='''代表空间的一个旋转变换．利用矩阵乘积分解的方法，这种变换的转轴、转角可以用矩阵的特征参数量化的表示出来． 1 任意旋转变换的矩阵表示形式引理[]2 设空间任意一个非零向量为()Tz y x x ,,= ，则以单位向量()Tc b a N O ,,1= 为旋转轴方向向量，旋转角度为θ的旋转变换矩阵为()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++------++-+----+=θθθθθθθθθθθθθθθcos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1222222c c a bc b ac a bc b b c ab b ac c ab a a T R （*） 证明: 设ON 为过原点的任意旋转轴方向的单位向量（图1），()Tc b a N O ,,= ,+2a 122=+c b ，方向余弦表示为γβαcos ,cos ,cos ===c b a ．下面将旋转过程分解为四步来讨论．(1) 将向量()Tz y x x ,,= 连同向量N O 绕x 轴顺时针旋转一个角度ϕ，使向量N O转至XOZ 平面上1N O位置，则有2222sin ,cos cb b cb c +=+=ϕϕ若记旋转变换的变换矩阵为1T，向量()Tz y x x ,,= 经此变换后的向量记为1x ，有x T x 11=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕϕϕc o s s i n 0s i n c o s 00011T =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++222222220001c b c c b b c b bc b c ． (2) 将向量1x连同1N O 绕y 轴顺时针旋转一个角度ϕ，使1N O 与Z 轴重合到z N O 位置，则有22122cos c b N O c b +=+=ϕ，a N O a==1sin ϕ．若记旋转变换的变换矩阵为2T ,向量1x 经此变换后的向量记为2x，则有122x T x =，其中()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2222200100cos 0sin 010sin 0cos c b aac b T ϕϕϕϕ． (3) 将向量2x 绕2N O (即z 轴)旋转θ角，旋转后的向量233x T x =，其中变换矩阵3T 为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000cos sin 0sin cos 3θθθθT ． (4) 类似地，将向量3x连同2N O 再绕y 轴顺时针旋转ϕ角，绕x 轴逆时针旋转ϕ角，使其连同2N O 回复到原来的位置，旋转后的向量3454x T T x=，其中变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222400100cos 0sin 010sin 0cos c b a ac b T ϕϕϕϕ，=5T ()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ϕϕϕϕcos sin 0sin cos 0001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+222222220001c b c c b b c b bc b c ． 因此，整个旋转变换过程等价于上述旋转变换的合成，其旋转矩阵可表示为12345T T T T T T R =()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++------++-+----+=θθθθθθθθθθθθθθθcos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1222222c c a bc b ac a bc b b c ab b ac c ab a a ． 向量x 经此旋转变换后即为x T R．至此，我们证明了空间任意的旋转变换可以用旋转的单位方向向量和旋转角唯一表示．特别地，当πθn 2=时，R T 为单位矩阵，此时任意方向单位向量均可作为此旋转变换的转轴．2 旋转角、旋转轴与矩阵特征属性之间的关系下面的定理阐述了空间中任意旋转变换的旋转轴，旋转角与变换矩阵的特征值之间的关系．定理1[]3 A 若为行列式等于1的3阶正交矩阵，则变换x A x '=' 旋转角的大小等于矩阵A 的一对共轭复特征值的辐角．证明: 由引理1知，可设任意旋转变换的变换矩阵为()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++------++-+----+=θθθθθθθθθθθθθθθcos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1cos 1222222c c a bc b ac a bc b b c ab b ac c ab a a A ． 若设其三个特征值分别为21,λλ和3λ，则有()()()θθθλλλcos 1cos 1cos 1222222321c c b b a a -++-++-+=++()+++=222c b a ()θθcos 21cos 3222+=---c b a ， 1321=λλλ． 因为A 是正交矩阵，所以A I I A I A A I A A A AA A I T T --=-=-=-=-=-．则必有0=-A I ,即A 必有特征值1，不妨设11=λ，这样⎩⎨⎧==+.1,cos 23232λλθλλ 解得θθλθθλsin cos ,sin cos 32i i -=+=．所以A 的两个共轭复数特征值的辐角即为旋转变换的旋转角．定理2 对空间中的旋转变换(*),旋转轴的方向向量是变换矩阵的特征值1对应的特征向量．证明 当πθn 2≠，()N n ∈，因为A 的特征值的几何重数大于其代数重数，所以11=λ的线性无关的特征向量只要1个，记为m ，m 满足m m A =，也就是说向量0m 在绕转轴0x 转了θ后保持不变，所以m 与0x 重合，m 为转轴．定理3 变换x A x ='所得新向量的终点都落在以o 为圆心，x 为半径的球面Ω上，且任取球面上的一点P ，存在正交矩阵p A ，使得向量x A P 与该点重合．事实上，任取P O P ,Ω∈与x 都可以确定一个平面，平面法向量n 可以表示如为：x P O x ⨯=，P O 与x 夹角的余弦 ()x P O ,cos 2,xx P O =． 取321,,n c n b n a ===，()x P O ,=θ,根据公式（*）就可以确定一个正交矩阵P A ,由θ,,,c b a 的几何意义知，左乘x 的作用相当于让x 以n 为轴时针转过θ角，得到的新向量x A P 的终点就是P 点． 3 行列式为1-的正交变换取A B -=．因为A 是奇数阶的，所以1-=-=A B ．()为奇数），为偶数），k k x A x A x A x B k k k k ((⎩⎨⎧-=-= )2,1,0( =k ．所以，记向量)2,1,0( =k x A k 对应的点为k A ，则x B k 所对应的点为k B ，则当k 为偶数时，k B 与k A 重合；当k 为奇数时，k B 与k A 关于原点对称．由几何性质可知， 3210,,,A A A A 分布在一个纬圆上，设为1C ．易知， 420,,B B B 也应分布在纬圆1C 上，而 531,,B B B 分布在另一个纬圆上，设为2C ，且21,C C 满足如下条件：1）2C 半径与1C 相同；2）2C 是1C 关于原点对称得到的；3) 1C ∥2C ；4) 两圆圆心连线过原点，且这条连线即为旋转变换的转轴所在直线． 通过以上的讨论，我们得出了正交矩阵所对应的空间旋转变换与矩阵自身性质的关系．这个空间旋转变换的转轴与转角将由矩阵的特征值和特征向量唯一确定．这些结论将为我们以后进一步研究正交矩阵的其他性质提供帮助．矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换理论中起着十分重要的作用，正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置．本文对正交矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，对矩阵的理论研究有重要意义．参考文献[1] 王萼芳,石生明．高等代数[M]．第三版．北京：高等教育出社,2007:162-392．[2] 蒋大为．空间解析几何及其应用[M]．北京：科学出版社，2004:195-196[3] 魏站线．线性代数与空间解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2004:196-197[4] 刘钊南．正交矩阵的作用[J]．湘潭师范学院学报,1987．11．16[5] 程云鹏．矩阵论[M]．第二版．西北工业大学出版社,1999：94．99,196-215．致谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在兰州城市学院大学的四年的学习生活即将结束。