n 1



(3)循环移位特性 任一m序列的循环移位仍是一m序列，不同的 循环移位只是移位寄存器初始状态不同的结 果。 m序列与其自身循环移位得到的m序列模2加仍 是一个m序列，且是原m序列的另一个循环移 位。 原因 例2.3-6 以例2.1-1中的m序列为例

四.m序列的自相关函数与互相关函数 相关函数的本来定义 两长度相等的序列的自相关函数和互相 关函数的定义
2.2 PN序列的数学描述

几个定义 1.序列（生成）多项式G(x) 2.特征多项式f(x) 3.不可约多项式 4.本原多项式
2.3最大长度线性反馈移位寄存 器序列(m序列)


一.m序列存在的条件 (1)必要条件 如果一个n级线性反馈移位寄存器产生的 序列是周期长度为N=2^n-1的m序列，则 其特征多项式必是不可约的。 注意：反过来，特征多项式为不可约多 项式的移位寄存器序列不一定是m序列。

(2).充要条件 一个移位寄存器序列为m序列的充要条 件是该序列的特征多项式为本原多项式。


例2.3-1 例2.3-2 定义：互反多项式 定理：本原多项式的互反多项式也是本 原多项式。互反多项式所对应的序列是 原m序列的镜像序列。 例2.3-3


二.m序列的计算 通常人们关心的不是生成m序列的移位寄 存器，而是m序列本身。 当移位寄存器确定以后，m序列就确定了， 寄存器不同的初始状态只是导致输出的m 序列循环移位而已。

m序列的生成多项式的计算 序列的生成多项式为：
1 x G ( x) f ( x)
2 n 1




其中f(x)为特征多项式。 注意：此时分子分母的写法都应为升幂排列。 各移位寄存器不同的初始状态所产生的m序列，仅 是此m序列的循环移位。 例2.3-4


三.m序列的伪随机性 (1)0、1的均衡性 m序列在一个周期内1的个数只比0的个数多一 个。所以一个周期内0和1的个数非常接近。 0和1的个数接近的原因 1的个数 0的个数 0、1的均衡性说明m序列的随机性。

五.m序列的缺点 (1)m序列很少。 当移位寄存器级数为n时，能产生的m序 列个数。
m序列的数目及其互相关函数
级数n 2n 1
m序列个数M 最大互相关 峰/自相关峰 3 7 2 0.71 4 15 2 0.6 5 31 6 0.35 6 63 6 0.36 7 127 18 0.32 8 255 16 0.37 9 511 48 0.22 10 1023 60 0.32


不同族Gold序列之间的互相关函数不是3 值而是多值的，且互相关值大大超过同 族内部序列之间的互相关值。因此不同 族Gold序列不适宜用作CDMA系统的地址 码。 Gold序列的自相关函数也是三值函数。
2.4.4 平衡Gold序列



一.什么是 平衡Gold序列：1与0的个数相差1。 非平衡Gold序列：1与0的个数之差多于1。 二. 为什么要平衡 和谐，体现在两方面 更好的频谱特性 更好的载波抑制

如何求出m序列的特征相位？ 2.生成函数 例2.4-2



（二）平衡Gold码的生成步骤 给定一对m序列优选对{a}和{b} 1.先求出其中任意一个m序列，如{a}的特征相 位序列。 2.循环移动{b}，使其首位与{a}的首位相异， 得到{b’}， {a}与{b’}的模2和产生的就是平衡 Gold序列。不断循环移位{b}，按照上述方法， 就可求出所有的平衡Gold序列。 例2.4-3

(2)R(t)是偶函数 (3)R(t)的数学表达式 (4)R(t)的功率谱密度函数：由相关函数 理论知，R(t)与功率谱密度函数G(f)是 一对傅里叶变换对。

R(t)功率谱密度函数的图像



m序列功率谱的特点 (1) 离散谱，谱线位置，谱线间隔，说明… (2) 包络形状，零点位置，说明m序列的频谱 中不包含码片同步分量。 (3) 功率谱带宽，说明m序列的带宽由码片间 隔决定，与码长无关。 (4)直流分量 极限情况：当m序列的长度N→∞时，直流分量 →0，谱线间隔→0，说明…


(2)游程分布 游程：序列中取值相同的一段称为一个游程， 取1(0)的称为1(0)游程，各游程中的位数称 为游程长度。 关于m序列游程分布的结论





m序列的一个周期中，游程总数为 2 个，其 中0游程和1游程各占一半。 当n＞2时长度为i(1≤i≤n-2)的游程占游程 总数的 1 / 2i ，原因 长度为n-1的游程只有一个，为0游程，长度 为n的游程也只有一个，为1游程。 游程分布的均衡性也说明m序列的随机性。 例2.3-5 例2.1-1中m序列的游程分布。

(2)不同m序列之间的最大互相关峰值很 大。在CDMA系统中会造成严重的多址干 扰。
2.4 Gold序列


为解决m序列数目太少以及互相关特性不 佳的问题，1967年R.Gold提出采用一对m 序列优选对来构建新的序列。 他提出“给定移位寄存器级数为n时，总 可以找到一对互相关函数值最小的m序列， 采用移位相加的方法构成新码，其互相 关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关 函数都是有界的。”
扩频通信
第二章 扩频序列
2.1概述


随机序列 伪随机序列(伪噪声序列，PN(Pseudonoise)序列) 伪随机序列的产生 例2.1-1



例2.1-1表明 各级移位寄存器的状态是周期往复的 PN序列是周期性的 PN序列的长度 最大长度线性反馈移位寄存器序列(m序列)
对伪随机序列的一般要求

1.具有良好的伪随机性，即虽然有其内 在规律性，也是按一定规律生成的，但 从表面看来，却具有和随机序列类似的 随机性。不知预定规律的无关接收者难 以把信息检测出来。



2.具有良好的自相关、互相关特性。自相关 峰值尖锐，互相关值接近于0。以便于接收 端能将所需的信息准确地检测出来。 3.随机序列的数量足够多，保证有足够多的 地址分配给用户。 4.易于实现，设备简单，成本低。
7
217 235 236 1021
9
1131 1461
2.4.2 m序列的产生方法


一. 并行法 固定一对m序列优选对当中的一个，而使 另一个作循环移位，然后将两个序列模2 相加。 所产生的Gold序列长度 所产生的Gold序列个数


二. 串行法 将一对m序列优选对的两个本原多项式相 乘，并按照模2加法合并同类项，以产生 的 2 2 n 次多项式作为Gold序列的特征多项 式。 例2.4-1已知n=6的一对m序列优选对的特 征多项式分别为103和147，画出它们所 构成的Gold序列产生器。

这一对互相关函数最小的m序列称为m序 列优选对，由这一对m序列优选对移位相 加得到的新序列称为Gold序列。
2.4.1 m序列优选对

定义 部分m序列优选对
级数 基准本原多项式系数
211
配对本原多项式系数
217，235，277，325，203，357，301，323 211，235，277，325，213，271，357，323 211，217，277，325，313，221，361，357 227，203，313，345，221，361，271，375 1131，1333 1021，1055，1225，1725 1743，1541，1853
1.m序列的自相关函数 先看例2.3-7 例2.1-1中m序列 {100110101111000}的自相关函数 结论 证明


m序列自相关函数的图像
1
－NTc
－Tc

1 N
Tc
NTc
t

关于m序列自相关函数R(τ)的讨论 (1)R(τ)是以NTc为周期的周期函数（Tc是码 片宽度），在τ =kNTc(N是m序列的周期,k为 整数)处出现尖峰。尖峰底宽为2Tc，Tc越小， 相关峰越尖锐。相关峰的高度远大于其他部 分，说明m序列有良好的自相关性。当N很大 和Tc很小时R(τ)趋于冲激函数，即近似于白 噪声的自相关特性。


常见疑问 1.例2.4-1中用串行法产生的Gold序列的 长度是多少？ 2.用并行法和串行法产生的Gold序列相 同吗？
2.4.3 Gold序列的互相关函数与自相关函数


同一族Gold序列具有3值的互相关函数。当n 为奇数时，有50%的序列间的互相关系数为1/N，当n为偶数但不是4的倍数时，有75%的 码序列间的互相关系数为-1/N，其余的互相 关系数满足m序列优选对中的条件(见表)。 由于Gold序列的数目较多，且同一族内Gold 序列之间有较低的互相关性，所以适合作为 CDMA系统的地址码。
2.5 M序列



问题：当移位寄存器的级数为n时，所生 成的m序列的周期长度为多少？为什么？ 减1的原因 为了使序列达到 2 n 的最大长度，可以人 为地加入一个全0状态，但这时移位寄存 器序列就变成了非线性的。 全0状态加入的位置 来自实现方法 例2.5-1


M序列的性质 (1)周期长度 (2)0和1的数量 (3)游程个数、0游程和1游程的数量、各种长度的游程 所占百分比，长度为n-1的游程不存在，长度为n的游 程有两个，分别为0游程和1游程。 (4)不再具有移位相加特性 (5)自相关函数是多值函数，自相关特性不如m序列。 (6)数量远多于Gold序列，更多于m序列。n级移位寄存 器M序列的个数


n为奇数和偶数时平衡与非平衡Gold码的 数量见教材P121表4-5、4-6。 Gold码的平衡性对于载波抑制的影响见 教材表4-7。